在數(shù)學(xué)中，有一個(gè)公式被稱為“世界上最美的公式”，它聯(lián)系了五個(gè)最基本的數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e（2.71828...），圓周率pi（3.1415926...），虛數(shù)單位i，自然數(shù)1和0。

這就是歐拉恒等式

其實(shí)歐拉恒等式是一個(gè)公式的特殊情形，我們把這個(gè)公式稱為歐拉公式

下面我們嘗試用泰勒展開（麥克勞林公式）去證明這兩個(gè)公式。

先介紹一下泰勒展開（不涉及推導(dǎo)）：

如果函數(shù)f(x)在x0處有n階導(dǎo)數(shù)，那么存在x0的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)的任一x，有：

f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)^2/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾n/n!+o((x-x0)＾n)

其中o((x-x0)＾(n))是比(x-x0)＾(n)高階的無(wú)窮小，特別的，取定x0=0，則x-x0=x，那么得到泰勒展開的特殊情況——麥克勞林公式：

f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)x^2/2!+...+f＾(n)(0)x＾n/n!+o(x＾n)

而當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處有無(wú)窮階導(dǎo)數(shù)時(shí)，麥克勞林公式可以寫成

f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)x^2/2!+...+f＾(n)(0)x＾n/n!（n趨近于無(wú)窮大）

此公式利用多項(xiàng)式去近似表達(dá)了一些復(fù)雜函數(shù)，因此，我們可以將一些數(shù)和函數(shù)聯(lián)系起來(lái)（比如今天的例子歐拉公式）

在高中我們學(xué)過，e的x次方的導(dǎo)函數(shù)仍為e的x次方，對(duì)其再求一次導(dǎo)，就得到e的x次方的二階導(dǎo)函數(shù)——仍然是e的x次方，如此就可以推出e的x次方的n階導(dǎo)函數(shù)始終為e的x次方。

還有，正弦函數(shù)sinx的導(dǎo)函數(shù)為cosx，對(duì)cosx再求一次導(dǎo)，就可以得到sinx的二階導(dǎo)函數(shù)-sinx，如此我們可以推導(dǎo)出sinx的三階導(dǎo)函數(shù)為-cosx，四階導(dǎo)函數(shù)為sinx，不難發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)的n階導(dǎo)函數(shù)是有規(guī)律的，同樣余弦函數(shù)也具有類似性質(zhì)。

整理一下，我們就得到

將以上結(jié)果帶進(jìn)麥克勞林公式，我們就得到

比較三式，可以發(fā)現(xiàn)sinx+cosx展開后的表達(dá)式和e的x次方展開后的表達(dá)式形式差不多，只是有一些項(xiàng)的符號(hào)不一樣。也就是說，如果我們將這些符號(hào)的差異也通過某種方式消除掉，那么就可以將三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)聯(lián)系在一起，我們令x=ia，則

如此，我們就證明了歐拉公式，取定a=pi時(shí)，cosa=-1，sina=0，那么就可以得到e的i*pi次方等于-1+i*0，即e的i*pi次方等于-1，移項(xiàng)，就可以得到歐拉恒等式：e的i*pi次方+1=0。

多么漂亮，多么簡(jiǎn)潔，多么優(yōu)雅！