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5.2??三角函數(shù)的概念（3?課時，單元教學(xué)設(shè)計）

一.單元內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.?內(nèi)容

三角函數(shù)的概念，三角函數(shù)的基本性質(zhì)：三角函數(shù)的符號、公式一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

本單元的知識結(jié)構(gòu)

本單元建議用3課時.第1課時.三角函數(shù)的概念；第2課時，三角函數(shù)的基本性質(zhì)；第3課時，概念和性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

2.?內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容的本質(zhì)

三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù)，是解決實(shí)際問題的重要工具，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理和天文等其他學(xué)科的重要基礎(chǔ).

（2）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法

研究思路如下：背景——研究對象——對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)——定義的過程.本單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在經(jīng)歷這個過程而形成三角函數(shù)的同時，“順便”就可得到值域、函數(shù)值的符號、公式一即同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等性質(zhì).?

（3）知識的上下位關(guān)系

傳統(tǒng)上，人們習(xí)慣把三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣，利用象限角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比定義三角函數(shù).任意三角函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是周期變化現(xiàn)象，是“周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)課話.因此，整體上，任意角三角函數(shù)知識體系的建立，應(yīng)與其他基本初等函數(shù)類似.

（4）育人價值

本節(jié)課從生活中存在“周而復(fù)始”的現(xiàn)象引入周期函數(shù)中最典型——三角函數(shù)的數(shù)學(xué)刻畫，通過在平面直角坐標(biāo)系中單位圓的建立，逐步實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).在此過程中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

（5）教學(xué)重難點(diǎn)

根據(jù)上述分析，可以確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義，公式一，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.其中，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義是重中之重.

二．單元目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）了解三角函數(shù)的背景，體會三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系.

（2）經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（3）掌握三角函數(shù)數(shù)值的符號.

（4）掌握公式一，初步體會三角函數(shù)的周期性.

（5）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，體會三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，通過運(yùn)用基本關(guān)系進(jìn)行三角恒等變換，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）學(xué)生能如了解線性函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景那樣，知道三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中“周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)工具，能體會到勻速圓周運(yùn)動在周而復(fù)始變化現(xiàn)象中的代表性.

（2）學(xué)生在經(jīng)歷“周期現(xiàn)象—圓周運(yùn)動—單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”的抽象活動中，明確研究的問題（單位圓上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，建立一個數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況），使研究對象簡單化、本質(zhì)化；學(xué)生能分析單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)中涉及的量及其相互關(guān)系，獲得對應(yīng)關(guān)系并抽象出三件函數(shù)概念；能根據(jù)定義求給定角的三角函數(shù)值.

（3）學(xué)生根據(jù)定義得出三角函數(shù)在各象限取值的符號規(guī)律.

（4）學(xué)生能根據(jù)定義，結(jié)合終邊相同的角的表示，得出公式一，并能根據(jù)此描述三角函數(shù)周而復(fù)始的取值規(guī)律，求某些角（特殊角）的三角函數(shù)值.

（5）學(xué)生能利用定義以及單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并得出“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”，并能用于三角恒等變換.

三．單元教學(xué)問題診斷分析

三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，其認(rèn)知基礎(chǔ)是函數(shù)的一般觀念以及對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，另外還有圓的有關(guān)知識.這些認(rèn)知準(zhǔn)備對于分析“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象中涉及的量及其關(guān)系、認(rèn)識其中的對應(yīng)關(guān)系并給出定義等都能起到思路引領(lǐng)作用.然而，前面學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，涉及的量（常量與變量）較少，解析式都有明確的運(yùn)算含義，在三角函數(shù)中，影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的因素較多，對應(yīng)關(guān)系不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是“α與x，y直接對應(yīng)”，無須計算，雖然α，x，y都是實(shí)數(shù)，但實(shí)際上是“集合元素間的對應(yīng)”.所以，三角函數(shù)中的對應(yīng)關(guān)系，與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)距離較大，由此產(chǎn)生第一個學(xué)習(xí)難點(diǎn)；理解三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，包括影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的因素分析，以及三角函數(shù)的定義方式的理解.