預(yù)備知識：

1. 設(shè)lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；
   

2. lim（1+1/n）^n=e；

3. 定理：數(shù)列{an}收斂的充要條件是：{an}的任何子列都收斂。

4. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

5. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；

6. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

7. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

8. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

9. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；

10. （axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；

11. 右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個向量a，b，c，將它們移到同一始點，則a，b決定一個平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過小于平角的轉(zhuǎn)動達到b的方向，此時若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱為左手系；

12. 直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點的三個向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個以O(shè)為原點的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系，記為{O；i，j，k}；

    右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系；否則稱為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系；

    直角坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標(biāo)系的基向量；

13. 仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系：如果我們不要求i，j，k單位長度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個以O(shè)為原點的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系；

    右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系；否則稱為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系；

    仿射坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標(biāo)系的基向量；

14. 坐標(biāo)：O；i，j，k是空間的一個仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），則任意一個向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標(biāo)系{O；i，j，k}下的坐標(biāo)，記為v=（x，y，z）；

    點的坐標(biāo)：設(shè){O；i，j，k}是空間的一個以O(shè)為原點的仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），規(guī)定P點的坐標(biāo)為向量OP的坐標(biāo)，向量OP成為P點的定位向量或矢徑，若P點的坐標(biāo)為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；

15. 坐標(biāo)軸/坐標(biāo)平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標(biāo)軸或分別成為x，y，z軸，每兩根坐標(biāo)軸所決定的平面稱為坐標(biāo)平面或xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面，3個坐標(biāo)平面把空間分割成8個部分，稱為該坐標(biāo)系的8個卦限；

16. 已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）：

    ab=a1b1+a2b2+a3b3；

    |a|=（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）；

    axb=（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k.
    

17. 矩陣乘法運算律——
    

    a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

    e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

18. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。

19. 矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

20. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

21. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

22. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

23. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

24. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。

25. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

26. 矩陣轉(zhuǎn)置運算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

27. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'；

28. 克萊姆法則：設(shè)A是n*n矩陣，線性方程組Ax=B——

    若|A|≠0，則方程組有唯一解：xi=Δi/Δ，其中Δ=|A|，Δi為|A|中第i列換為B，其它各列與|A|相同的n階行列式（i=1，2，……，n）.

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——

倘若{an}、{bn}都是無界數(shù)列，試問{anbn}是否必為無界數(shù)列？（若是需作證明；若否，需給出反例.）

解：{anbn}不一定為無界數(shù)列——

1. 設(shè)

   an=2，1/3，4，1/5，6，1/7，…

   bn=1/2，3，1/4，5，1/6，7，…

2. 則{an}、{bn}為無界數(shù)列，而anbn=1，1，1，1，1，1，1，……，{anbn}為有界數(shù)列。

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——

已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），c=（c1，c2，c3），求（a，b，c）.

解：

1. （a，b，c）

   =（axb）c

   =（a2b3-a3b2）c1+（a3b1-a1b3）c2+（a1b2-a2b1）c3；

2. 坐標(biāo)計算如下圖：

   
   

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——

已知A^6=E，A為

求A^11.

解：

1. 已知A^6=E，則A^12=E，即A^11A=E；

2. 由1：A^11=A^（-1）=A*/|A|，

   |A|=（1/2）（1/2）-[-3^（1/2）/2][3^（1/2）/2]=1，

   A^11=A*，為