《物理與工程》期刊近日在線發(fā)表了一篇論文，從接收到發(fā)表僅僅用了5天，作者認(rèn)為這是論文刊發(fā)的最快紀(jì)錄。論文的內(nèi)容是從最簡單的古典微分幾何知識基礎(chǔ)上，如何理解量子力學(xué)和熱力學(xué)中的一些前沿問題。本文章的主要部分則是介紹作者在科研中學(xué)習(xí)和使用微分幾何20余年之后，自認(rèn)為成功反哺教學(xué)的兩個典型成果。

撰文 | 劉全慧（理論物理博士，湖南大學(xué)物理與微電子科學(xué)學(xué)院教授）

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論文刊出最快的世界紀(jì)錄：五天

最近有篇小論文，從投出到刊出的時間，五天，創(chuàng)下了中國 (也許國際上) 學(xué)術(shù)刊物發(fā)文章速度的最快歷史紀(jì)錄。這就是《物理與工程》(教育部高等學(xué)校大學(xué)物理課程教學(xué)指導(dǎo)委員會學(xué)術(shù)刊物，清華大學(xué)編輯出版)上的拙作《懂幾何者，在物理學(xué)中無往而不利》。2021年3月13日收到，18日上線。這篇文章，既不是投稿，也不是約稿，而是《物理與工程》編輯部和筆者商量為他們的微信公眾號寫篇一篇文章，文章草成后，編輯部認(rèn)為是“好文章”然后“升艙”到刊物上的結(jié)果。炮制這篇文章只用了兩天，但是積累素材卻持續(xù)了20來年，內(nèi)容作為腹稿也孕育了一段時間。同一時間段內(nèi)，投給《大學(xué)物理》的一篇文章《幾何視角下的熱力學(xué)》也受到好評，編輯部將安排在某一期的首篇推出。

圖1 中國學(xué)術(shù)刊物發(fā)文章速度的最快歷史紀(jì)錄：五天。

筆者的人生中有少數(shù)幾個點(diǎn)不是那么暗淡，居然都和幾何有點(diǎn)關(guān)系。除了論文、經(jīng)費(fèi)等和謀生直接相關(guān)的俗務(wù)外，還有如下一些：

1.指導(dǎo)了幾位本科生進(jìn)行的研究，最好的三篇論文都和幾何相關(guān)。本科生能進(jìn)行前沿研究都和幾何有關(guān)，說明幾何不難。同時也說明，幾何是物理學(xué)研究一塊最有分量的敲門磚。

2. 1989年獲碩士學(xué)位，論文是Z2規(guī)范場的相結(jié)構(gòu)，而規(guī)范場就是一種幾何學(xué)。

3. 1999年獲博士學(xué)位，論文是關(guān)于生物膜幾何形狀和廣義相對論，需要的是古典微分幾何

4. 2000年，申請ICTP的Regular Associate(相當(dāng)于訪問學(xué)者或者博士后)，這是第二次申請，比1999年第一次申請材料僅僅多了幾個字：Dowling等作者在1999的一篇PRL和Aharonov等作者在2000的一篇PRL上，都肯定了筆者研究Berry幾何相位的一篇CPL文章。

5. 他鄉(xiāng)遇故知。2016年，在上海偶然碰到Dowling，說起往事來，他高興得像個孩子，參見照片 (圖2)。很可惜，Dowling于2020去世了，Nature Photonics專門發(fā)了一篇紀(jì)念文章。2018年，非常有幸在湖大接待Berry并主持他的報告會 （岳麓講壇），參見照片 (圖3)。

圖2 筆者和Dowling合影

圖3 Berry和湖南大學(xué)物電院師生合影

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物理學(xué)圖像，常常是指幾何圖像

大物理學(xué)家Dyson自認(rèn)為從費(fèi)米的20分鐘里所學(xué)到的，比他從奧本海默20年里學(xué)到的還要多。費(fèi)米的一句話不經(jīng)意的話，被理解為費(fèi)米秘笈，不僅秒成警句廣為傳播，而且奉為物理學(xué)教學(xué)和研究的費(fèi)米準(zhǔn)則。原話是：“One way, and this is the way I prefer, is to have a clear physical picture of the process that you are calculating．The other way is to have a precise and self-consistent mathematical formalism.” 這里，物理圖像(physical picture)被提高到了至關(guān)緊要的位置。physical不同于physics，形容詞的physical指的是飽滿而活生生的物理，而physics則是一個狀態(tài)描述。彭桓武先生就非常強(qiáng)調(diào)physical和physics之間的差別。

圖4 Thorne和Blandford編著的“大學(xué)物理”教材封面

極度強(qiáng)調(diào)幾何在物理學(xué)教育中的作用，非Thorne領(lǐng)導(dǎo)的“大學(xué)物理”教學(xué)小組莫屬。如果不是由于Thorne因為引力波的成功探測而獲得了2017年諾貝爾物理學(xué)獎，大概不會有太多人關(guān)注他在2017年出版的一本大學(xué)物理教材，名字很古怪——《現(xiàn)代經(jīng)典物理》(全名是Modern Classical Physics: Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics)，參見照片(圖4)。其實(shí)，這本書的內(nèi)容經(jīng)過了千錘百煉，在加州理工和斯坦福大學(xué)進(jìn)行了37年的教學(xué)實(shí)踐，書的特點(diǎn)就是用幾何重塑了經(jīng)典物理學(xué)。前言中寫道：“幾何學(xué)是本書中的深入主線，和非常重要的經(jīng)緯。我們將看到如何通過洗練的幾何思考就可決定或強(qiáng)烈限制了經(jīng)典物理學(xué)的基本原理。幾何學(xué)不僅能凸顯經(jīng)典原理的特征，還有助于將它們與相應(yīng)的量子原理關(guān)聯(lián)起來。進(jìn)一步，幾何方法可以避免冗長的分析計算。盡管相關(guān)的冗長、常規(guī)的計算，有時難以避免，在這種情況下，我們有時會求助于現(xiàn)代符號運(yùn)算軟件Maple，Mathematica和Matlab來節(jié)省空間?！睋Q句話說，吹掉物理學(xué)上計算難度上的灰塵，發(fā)現(xiàn)物理學(xué)中到處都是幾何。

大學(xué)里的幾何，必須借助于微積分才能獲得深入的理解。因此，大學(xué)中的物理圖像就應(yīng)該是微分幾何圖像。所謂的物理深刻，很可能不過是簡單幾何。本文接下來的兩節(jié)，通過兩個例子，希望說明如下一個道理：物理課程中重要而困難的物理問題，只需要簡單的微分幾何就可以化腐朽為神奇，變得玲瓏剔透且妙趣橫生。

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熱力學(xué)第三定律與兩個函數(shù)之間的切觸

如果兩個函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)相等，說明這兩個函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)近似相等。如果近似的差別實(shí)際上無法觀測，就說明這兩個函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)物理上相等?？紤]函數(shù)f(x)=ex在x=0的n階泰勒展開

，然后把f(x)和fn(x)在x=0處的比較。比較到零階，即ex和1比較，這里僅僅是一個交點(diǎn)即 x=0，用幾何的語言，稱之為零級切觸(contact)。比較到一階，即ex和1+x的比較，就不僅僅是一個交點(diǎn)，而且有了共同的切線，稱之為一級切觸，等等。參見圖5。

圖5 一個函數(shù)和它的泰勒展開的幾何理解 (圖片取自網(wǎng)絡(luò))

下面研究熱力學(xué)湯姆孫-貝特洛在低溫實(shí)驗時發(fā)現(xiàn)的一個規(guī)律的示意圖(圖6)。這幅示意圖能告訴我們什么呢? 教材都包含了曲折而繁難的分析，從而得到熱力學(xué)第三定律的能斯特表述。而一旦有了切觸的概念，立即發(fā)現(xiàn)這兩根線在零溫時發(fā)生了一級切觸，即兩個函數(shù)有如下關(guān)系

由于熱力學(xué)第一、二定律可以推導(dǎo)出，

即

于是，湯姆孫-貝特洛原理啟示了：1，當(dāng)T→0 時，ΔS→0 ，即熱力學(xué)第三定律；2，正是由于一級切觸，這個 T→0 時實(shí)際上可以高到室溫。這個室溫可以通過分析高級切觸而定量求解出來。

通過這個例子可以說明，幾何必須和微積分結(jié)合起來，完全的初等幾何是不太夠用的。

圖6 ?兩個函數(shù)有一階切觸 (圖片取自名著Herbert B. Callen，Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics 2nd Edition)

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動量算符中顯含的平均曲率

球坐標(biāo)下三個廣義動量算符是，

這三個算符在一般初等量子力學(xué)教材中都會見到，主要部分都是通常的微分算符。前兩個算符多出的部分，通常的理解不過是為了微分部分變得厄密而多出來的函數(shù)而已，并無深意，實(shí)際可能遠(yuǎn)非如此。這兩個函數(shù)，其實(shí)是兩個不同平面的平均曲率。而平均曲率是古典微分幾何中入門級的概念。

首先，稍微介紹一點(diǎn)什么是平均曲率。審視曲面彎曲形狀的方式是化面為線。把曲面截開，截面上的曲面就是一根一根的曲線，簡稱截線。不過截的時候，要沿法線截下去。一個二維曲面，可以找出正交的兩根截線（法截線），用這兩根截線的曲率（主曲率）來標(biāo)志曲面的彎曲程度，參考圖7。

圖7 把一個二維圖面任意一點(diǎn)截開，然后看截線的彎曲程度，并用這兩個主曲率來刻畫曲面的彎曲程度。一個曲率即平均曲率，即兩個主曲率的算術(shù)平均即平均曲律。一個是這兩個曲率的乘積，即高斯曲率，不過本文不涉及高斯曲率。這里的平均曲率是 H=1/2(1/ρ1+1/ρ2) ，其中 ρ1, ρ2 分別為兩根平面曲線密切圓的曲率半徑。(圖片取自網(wǎng)絡(luò))

然后回到球坐標(biāo)。參考圖8，球坐標(biāo)中的三個坐標(biāo)，把每一個值固定下來，就是一個曲面，共三個。一個是球面(圖中取r=1 )，一個是平面(圖中取φ=π/3)，其平均曲率分別為 1/r(空間任意處的球面半徑為r) 和零。錐面（圖中取 θ=π/6 )的計算參看圖9，r處的曲率是 cot θ/2r ，這里的r和算符

的微分部分包含的 r，其實(shí)是一個輔助量，可以在計算完成之后，簡單地設(shè)定為單位球面r=1 就可以了。

圖8 ?球面坐標(biāo)。 r 為常數(shù)時，為一個半徑為 r 球面，平均曲率為 1/ r 。 θ為常數(shù)時，為一個錐面，平均曲率為 cot θ/2 。 φ 為常數(shù)時，為一個平面，平均曲率為零。(圖取自網(wǎng)絡(luò)后編輯而成)

圖9 ?把 P 點(diǎn)處的錐面剖開成兩根線的時候，一根是母線，曲率為零；另外一刀剖下去的時候，刀面要和這根母線正交，其法截線的曲率半徑為 r tan θ ，曲率為 cot θ/r。因此，r=1 處的錐面的平均曲率為 cot θ/2。

有人可能認(rèn)為，對理解三個廣義動量算符來說，知道了表達(dá)式，幾乎可以解決所有問題，并不需要知道這些量是否為平均曲率。對于這三個算符來說，似乎不假。其實(shí)不然，因為物理問題常常必須從更大的范圍內(nèi)進(jìn)行審視，然后反過來看這個問題，才能獲得更大的視野和正確的視角。有很多問題涉及到這個曲率。第一，在平直空間中，移動一個量子態(tài)需要通過動量算符所構(gòu)造移動算符來完成，不過在平直空間中，動量中不包含多余的函數(shù)，因而量子態(tài)環(huán)形一周回到原處，量子態(tài)沒有改變。而在彎曲曲面上，正是由于動量多出來的部分，使得量子態(tài)就會多出一個相位因子。第二，這里有關(guān)“世紀(jì)難題”：即徑向動量算符 Pr的觀測意義。要解決這個問題，就必須求助于幾何，參見文獻(xiàn)Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys., 2015,12: 1550028.

這個例子至少給了我們?nèi)c(diǎn)啟示：第一，最常見的算符中直接出現(xiàn)了平均曲率，那么微分幾何就在量子力學(xué)的入門處，因而也就在課程的全部內(nèi)容中；第二，算符一般都包含幾何部分，也就是一般意義下的動量，應(yīng)該是幾何動量，參見文獻(xiàn)，Euro. Phys. J. C., 2019, 79: 712及其中的參考文獻(xiàn)；第三，通常認(rèn)為現(xiàn)代物理的幾何基礎(chǔ)是黎曼幾何，而平均曲率是外曲率，無足輕重，這個看法片面的。

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斷想與結(jié)語

文章將近結(jié)束，興味卻未闌珊，記錄一些斷想在此。

如果把一門課教50年甚至80年，講得爛熟透頂，也不過爾爾，始終無法達(dá)到Thorne用幾何重塑經(jīng)典物理概念系統(tǒng)的程度，也無法發(fā)現(xiàn)普通動量算符底下其實(shí)包含了簡單的幾何卻是深刻的物理，等等。任何大學(xué)教師，必須要有和本課程教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的前沿科研經(jīng)歷。純粹教學(xué)型的大學(xué)老師，可以是認(rèn)真的老師，也可以好老師，但是無法在教學(xué)內(nèi)容上出神入化，無法把握重大題材，也無法理解最新進(jìn)展，就不可能是學(xué)者型老師。

岳麓書院赫曦臺上有副對聯(lián)云“合安利勉而為學(xué)，通天地人之謂才”。但是，“安利勉”的為學(xué)三途太過入世，做學(xué)問必須要有點(diǎn)出世的精神。筆者在湖南大學(xué)負(fù)責(zé)“岳麓講壇”，堅持延請一些文理兼長的科學(xué)家過來講學(xué)，堅信，大學(xué)生處于成長階段，興趣面不能太窄了，應(yīng)該“轉(zhuǎn)益多師是汝師”。同時，大學(xué)里必須要有一點(diǎn)艱難的課程。現(xiàn)在大學(xué)的課程，數(shù)量繁多但失之淺易。甚至連簡單的微分幾何都不在大學(xué)物理系的課程系統(tǒng)內(nèi)，這是否是大學(xué)課程設(shè)置的問題?

問題可能要換一個角度來看。微分幾何及其發(fā)展歷史，是人類文明最有神采的部分，這部分應(yīng)該和唐詩宋詞、經(jīng)典小說等等一樣，是大學(xué)生必讀書籍中的一冊。對理工科大學(xué)生，尤其如此。

希臘故事、古今名言、諸多事例，等等，都擠到了斷想的狹窄通道里，下面收斂到本文的主題。把文中的兩句話重復(fù)一遍，作為本文的結(jié)語：不但物理學(xué)圖像常常是指幾何圖像，而且物理的深刻很可能是簡單的幾何。