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最近我們被客戶要求撰寫關于預測世界人口的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

本文應用R軟件技術，分別利用logistic模型、ARFMA模型、ARIMA模型、時間序列模型對從2016到2100年的世界人口進行預測

作者將1950年到2015年的歷史數(shù)據(jù)作為訓練集來預測85年的數(shù)據(jù)。模型穩(wěn)定性經(jīng)過修正后較好，故具有一定的參考價值。

引言

隨著時間的推移，世界人口不斷的增長，為了更好地把握世界人口的進展速度與規(guī)律。我們利用建立logistic模型并運用R語言軟件來分析并預測在2100年世界的人口數(shù)，并與預測出的數(shù)據(jù)做對比，看模型構造的好壞并進行模型改進與擴展。

模型一：logistic模型

logistic模型又稱作阻滯增長模型，主要用來描述在環(huán)境資源有限制的情況下，人口數(shù)量的增長規(guī)律。由于一些因素的影響世界人口數(shù)量最終會達到一個飽和值。阻滯作用上體現(xiàn)在對的影響上，使得隨著年份的增加而下降。若將表示為的函數(shù)，則它應是減函數(shù)。則有

由于bgistic回歸模型就是基于二項分布族的廣義線性模型，因此在R軟件中，Logistic回歸分析可以通過調用廣義線性回歸模型函數(shù)glm()來實現(xiàn)，其調用格式為

Log<一glm(formula,family=binomial,data)其中，formula為要擬合的模型，family=binomial說明分布為二項分布，data為可選擇的數(shù)據(jù)框。

通過在世界銀行網(wǎng)站上查閱相關數(shù)據(jù)，我們將1950年到2100年的人口數(shù)據(jù)進行錄入，并調用glmnet包來進行擬合。

summary(lg.glm)plot(x,?y,?main?=?"人口數(shù)隨年份變化的logistic曲線",xlab?=?"年份",?ylab?=?"人口數(shù)（千億）")

Deviance?Residuals:? ??????Min?????????1Q?????Median?????????3Q????????Max?? -0.089181??-0.028946???0.002154???0.027206???0.042212??Coefficients:?????????????Estimate?Std.?Error?z?value?Pr(>|z|) (Intercept)?-23.76776???22.17527??-1.072????0.284x?????????????0.01046????0.01101???0.950????0.342(Dispersion?parameter?for?binomial?family?taken?to?be?1) ????Null?deviance:?0.923810??on?82??degrees?of?freedom Residual?deviance:?0.082928??on?81??degrees?of?freedomAIC:?13.991Number?of?Fisher?Scoring?iterations:?6

從檢驗結果可看出隨著時間的推移能影響人口的數(shù)量，并且年份越大，人口密度越大；最終會停留到一個飽和值，并得到logistic回歸模型：

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Python用RNN神經(jīng)網(wǎng)絡：LSTM、GRU、回歸和ARIMA對COVID19新冠疫情人數(shù)時間序列預測

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模型二?：AFRI?MA模型

時間序列模型可分為段記憶模型和長記憶模型。一般的時間序列分析模型有自回歸(AR)模型、滑動平均(MA)模型、自回歸滑動平均(ARMA)模型、自回歸整合滑動平均（ARIMA）模型等，這些模型主要是短記憶模型。目前，人們對宏觀經(jīng)濟變量的實證研究發(fā)現(xiàn)，長記憶模型雖然遠距離觀測值間的相依性很小但是仍具有研究價值。分整自回歸移動平均模型(ARFMA)模型是長記憶模型，它是由Granger和Joyeux (1980)以及Hosking (1981)在ARIMA模型的基礎上構建的，廣泛應用于經(jīng)濟金融領域。

AFRIMA模型定義

AFRIMA模型的基于A R M A模型和ARIMA模型。

ARMA(p,q),模型的形式為:

模型實現(xiàn)：

?arfi(Diut[,2][)#建立arfima模型plot(Discnt[,1],Dscunt[,2])#原始數(shù)據(jù)points(Dicount[,1][1:66],f$fittedcol="red")#擬合數(shù)據(jù)

從殘差圖的結果來看，ACF的值不在虛線范圍內，即殘差不平穩(wěn)，不是白噪聲，因此下面對數(shù)據(jù)進行一階差分。

模型穩(wěn)定性改進

對數(shù)據(jù)進行一階差分使數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定。

points(c(2016:2100),?diffinv(pre$mean)[-1]+?Discount[66,2],col="blue")

從殘差圖的結果來看，ACF的值和PACF的值都在虛線范圍內，即殘差平穩(wěn)，因此模型穩(wěn)定。

模型三：? ARIMA模型?

?ARIMA模型定義

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動平均模型。是由博克思和詹金斯于70年代初提出的一著名時間序列預測方法，博克思-詹金斯法。其中ARIMA(p，d，q)稱為差分自回歸移動平均模型，AR是自回歸，p為自回歸項；MA為移動平均，q為移動平均項數(shù)，d為時間序列成為平穩(wěn)時所做的差分次數(shù)。

ARIMA模型的基本思想是：將預測對象隨時間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個隨機序列，用一定的數(shù)學模型來近似描述這個序列。這個模型一旦被識別后就可以從時間序列的過去值及現(xiàn)在值來預測未來值。

ARIMA模型的基本思想是：將預測對象隨時間推移而形成的數(shù)據(jù)序列視為一個隨機序列，用一定的數(shù)學模型來近似描述這個序列。這個模型一旦被識別后就可以從時間序列的過去值及現(xiàn)在值來預測未來值。

建模過程主要包括：

第一步：自回歸過程

令Yt表示t時期的GDP。如果我們把Yt的模型寫成

(Y_t-δ)=α_1 (Y_(t-1)-δ)+u_t

其中δ是Y的均值，而ut是具有零均值和恒定方差σ^2的不相關隨機誤差項(即ut是白噪音)，則成Yt遵循一個一階自回歸或AR(1)隨機過程。

P階自回歸函數(shù)形式寫成：

(Y_t-δ)=α_1 (Y_(t-1)-δ)+α_2 (Y_(t-2)-δ)+α_3 (Y_(t-3)-δ)+?+α_p2 (Y_(t-p)-δ)+u_t

模型中只有Y這一個變量，沒有其他變量?？梢岳斫獬伞白寯?shù)據(jù)自己說話”。

第二步：移動平均過程

上述AR過程并非是產(chǎn)生Y的唯一可能機制。如果Y的模型描述成

Y_t=μ+β_0 u_t+β_1 u_(t-1)

其中μ是常數(shù)，u為白噪音(零均值、恒定方差、非自相關)隨機誤差項。t時期的Y等于一個常數(shù)加上現(xiàn)在和過去誤差項的一個移動平均值。則稱Y遵循一個一階移動平均或MA(1)過程。

q階移動平均可以寫成：

Y_t=μ+β_0 u_t+β_1 u_(t-1)+β_2 u_(t-2)+?+β_q u_(t-q)

自回歸于移動平均過程

如果Y兼有AR和MA的特性，則是ARMA過程。Y可以寫成

Y_t=θ+α_1 Y_(t-1)+β_0 u_t+β_1 u_(t-1)

其中有一個自回歸項和一個移動平均項，那么他就是一個ARMA(1，1)過程。Θ是常數(shù)項。

ARMA(p，q)過程中有p個自回歸和q個移動平均項。

第三步：自回歸求積移動平均過程

上面所做的都是基于數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，但是很多時候時間數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，即是單整(單積)的，一般非平穩(wěn)數(shù)據(jù)經(jīng)過差分可以得到平穩(wěn)數(shù)據(jù)。因此如果我們講一個時間序列差分d次，變成平穩(wěn)的，然后用AEMA(p，q)模型，則我們就說那個原始的時間序列是AEIMA(p，d，q)，即自回歸求積移動平均時間序列。AEIMA(p，0，q)=AEMA(p，q)。

通常，ARIMA 模型建模步驟有4個階段: 序列平穩(wěn)性檢驗，模型初步識別，模型參數(shù)估計和模型診斷分析。

模型實現(xiàn)

步驟一：識別。找出適當?shù)膒、d、和q值。通過相關圖和偏相關圖可以解決。

步驟二：估計。估計模型周所含自回歸和移動平均項的參數(shù)。有時可以用最小二乘法，有時候需要用非線性估計方法。(軟件可以自動完成)

步驟三：診斷(檢驗)?？从嬎愠鰜淼臍埐钍遣皇前自胍?，是，則接受擬合；不是，則重新在做。

步驟四：預測。短期更為可靠。

具體來說：

首先，看一下有沒有很明顯的trend，需不需要differencing之后再建模。

從ACF和PACF的結果來看，序列沒有很快地落入虛線范圍之內，因此，序列不平穩(wěn)。對序列進行差分。

畫出ACF 和PACF，通過看圖來決定用哪個模型（ARMA（p，q），ARIMA之類的）。

從差分后的數(shù)據(jù)結果來看，ACF在8階后開始落入虛線范圍，PACF在2階后很快落入虛線范圍，因此p=8，q=2，d=1。

xz1=automa(Dist[1:66,2],ic=c('bic'),trace=T)#自動查找最優(yōu)的arima模型?ARIMA(2,2,2)????????????????????:?-1058.701?ARIMA(0,2,0)????????????????????:?-1026.504?ARIMA(1,2,0)????????????????????:?-1049.834?ARIMA(0,2,1)????????????????????:?-1048.83?ARIMA(1,2,2)????????????????????:?-1062.532?ARIMA(1,2,1)????????????????????:?-1050.673?ARIMA(1,2,3)????????????????????:?-1058.723?ARIMA(2,2,3)????????????????????:?Inf ?ARIMA(0,2,2)????????????????????:?-1060.99?Best?model:?ARIMA(1,2,2)

從殘差的ACF結果來看，序列很快穩(wěn)定地落入虛線范圍，模型穩(wěn)定。

plot(Discnt[,1],Disnt[,2])points(c(2016:2100)?,Diunt[66,2]+diffinv(xzrcast$mean)[-1],col="red")#預測值2015到2100年

從殘差的ACF結果來看，序列很快穩(wěn)定地落入虛線范圍，模型穩(wěn)定。

為了檢驗預測誤差是均值為零的正態(tài)分布，我們可以畫出預測誤差的直方圖，并覆蓋上均值為零、標準方差的正態(tài)分布的曲線圖到預測誤差上。

points(mst$mids,?myst$density,?type="l",?col="blue",?lwd=2) } plotForecrrors(xzrrecast?$residuals)

參考文獻

【1】統(tǒng)計模擬及其R實現(xiàn)，肖枝洪，武漢大學出版社

【2】Logistic模型在人口預測中的應用，閻慧臻，大連工業(yè)大學學報，第27卷第4期

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本文選自《R語言用logistic邏輯回歸和AFRIMA、ARIMA時間序列模型預測世界人口》。

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