? ? ? ? 賭徒的賭資為m，莊家的賭資為N-m。擲一枚均勻的硬幣。如果結(jié)果是人頭，賭徒財富＋1，莊家財富-1；如果結(jié)果是字，賭徒財富-1，莊家財富+1。直到一方破產(chǎn)為止。最后賭徒破產(chǎn)的概率是多少？

? ? ? ? 記Ak={賭徒初始財富為k，結(jié)果破產(chǎn)}，設(shè)P(Ak) =pk，B={首局結(jié)果為人頭}.

? ? ? ? 由全概率公式，pk=P(Ak)=? P(Ak|B)P(B) +P(Ak|Bc)P(Bc) =?1/2*pk+1+1/2*pk-1

? ? ? ??由題意知p0=1，pN=0，

? ? ? ? 解得pn=1-n/N

?? ? ? ?可以看出，pm>1/2等價于m＞N-m，limN→∞pm=0

? ? ? ? 這一問題等價于下面的問題：

? ? ? ? 一個醉漢從n點出發(fā)，（0≤n≤N，N,n為正整數(shù)），每一步等可能地向左或向右走一步，如果走到0或者N就停下來，（可以證明他最后走到0或N的概率為1(*)），則他最后走到0的概率為1-n/N。

（*）：如果他永遠在1和N-1之間游走，那么一定不會出現(xiàn)“連續(xù)向右走N步”這個事件。所以：

? ? ? ? P(永遠在1和N-1之間游走)

? ? ?≤ P(永遠不會連續(xù)向右走n步)

? ? ?≤ P(任取自然數(shù)k，第kn步到第k(n+1)步不是連續(xù)向右走n步)

? ? ?=Πk=0,1,2...P(第kn步到第k(n+1)步不是連續(xù)向右走n步)

? ? ?=Πk=0,1,2...(1?-?(1/2)^n)

? ? ?=limk→∞(1?-?(1/2)^n)^k

? ? ?=0

? ? ? ? ?所以P(永遠在1和N-1之間游走)=0，即P(經(jīng)過0或N)=1.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? □

最近正好學(xué)到了這么一個問題，與現(xiàn)實并無任何關(guān)系，如有巧合，純屬事實。