之前先學(xué)掉了電動力學(xué)，后來發(fā)現(xiàn)電磁學(xué)還沒上過，姑且回來補一下。電磁學(xué)往上走的兩端，一邊是思想層面上的電動力學(xué)，另一邊是實用層面上的電工學(xué)。學(xué)電磁學(xué)一方面作為電動力學(xué)的復(fù)習(xí)，另一方面也接觸一些實用層面上的內(nèi)容。畢竟電動力學(xué)學(xué)完發(fā)現(xiàn)自己連磁感應(yīng)強度的單位是什么都不知道...另外關(guān)于物理圖像也要多做一些思考。

于是乎這篇文章先復(fù)習(xí)一下（經(jīng)典）電動力學(xué)。在此之前，當(dāng)然得先復(fù)習(xí)一下廣義相對論。

先說明一下，之后平直時空的度規(guī)是(-1,1,1,1)（對應(yīng)(t,x,y,z)），也就是east coast約定。不采取ict那套約定，那套簡直是沒事找事。

廣義相對論

傳統(tǒng)講狹義相對論的方式從兩個基本假設(shè)出發(fā)搞出各種花樣，我覺得很難受。干脆從幾何角度看廣義相對論是最自然的。

廣義相對論的基本圖像：時空流形～四維Lorentz流形，曲線～世界線，單位切矢量～4-速度，等等。直觀地就可以去想象一張嵌入到三維空間中的二維平面。電磁場就是這個Lorentz流形上的兩個場；當(dāng)然它們并不是好的場，更本質(zhì)的是電磁張量場。

微分流形就是很多坐標卡覆蓋起來的東西。每個坐標卡是與$\mathbb{R}^n$的（微分）同胚，重疊的坐標卡需要$C^\inf$相容性。比如AEF坐標和REF坐標能分別覆蓋Schwarzschild解的最大解析延拓的一部分，在重疊的部分相容。我們可以想象一張曲面的坐標化。

流形上最基本的東西就是張量場。古典的extrinsic的微分幾何在嵌入的高維空間很直觀地定義切平面、切向量以及方向?qū)?shù)、協(xié)變導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在intrinsic的幾何里沒法這么干，但是可以類比著定義。?

首先是切矢和余切矢。我比較喜歡各自拿兩套定義理解。一套是余切矢是切矢到$\mathbb{R}$的線性映射，反之亦然，說的是對偶性。另一套是把切矢按照方向?qū)?shù)的性質(zhì)（Leibniz律）公理化地定義，余切矢按照下面的方式定義：首先有流形$M$在$p$處的$C^\inf$-函數(shù)芽$[f]$，$C_p^\inf$商掉這個等價類記為$\mathcal{H}_p$，這個線性空間再?商掉$\mathcal{F}_p$即關(guān)于局部坐標一階偏微商為0的芽構(gòu)成的空間，就得到$T_p^*M$。從這個定義看$df=-tdt+xdx$這樣的式子就很自然了。?

對于我這種不懂代數(shù)的人來說，告訴我一個線性映射總是太抽象了，能拿出一組基來才比較舒服。所以看待張量最舒服的觀點就是基下的展開：

局部的幾何由度規(guī)張量場g_{\alpha\beta}定義。

接下來是狹義相對論的formulation。狹義相對論說的是沒有能動張量扭曲的平直時空，數(shù)學(xué)上說就是時空是這樣一個流形，它存在一種特殊的坐標系（慣性坐標），這個坐標能夠覆蓋整個流形，并且度規(guī)是diag(-1,1,1,1)。 不同慣性坐標之間的變換即Lorentz變換。雖然從四維來看是個轉(zhuǎn)動，回到三維，這就是向某個方向的平移。?

? 比較難以理解的是時空流形的一個坐標化到底代表什么。一個坐標在物理上相當(dāng)于對時空的一種度量方式，它可以有比較明確的物理意義（比如Schwarzschild坐標是無窮遠處觀測者的坐標），也可以不具有明顯的物理意義（比如烏龜坐標就有一種伸縮；Kruskal坐標就沒有顯著的物理解釋了）；但是這還不是重點。在狹義相對論里面，我們說一個全局的慣性坐標并沒有什么毛病，比如可以指定和“我”這個慣性觀測者“同時”的時空切片；也就是在這種意義下，我們才可以談“尺縮效應(yīng)”之類的事情（并不是我“看到”尺子縮短了，而是尺子在我的這個時刻的類空超曲面上縮短了；我并不能“看到”尺子，我只能看到尺子發(fā)出的光子在某一時刻打在我的視網(wǎng)膜上，這與類空超曲面上截出的尺子是兩回事，只是在狹義相對論中還不太明顯罷了。Terrell轉(zhuǎn)動說的就是“類空超曲面上的截斷”與“視覺效應(yīng)”的差別）。但是到廣義相對論里面，所有東西都是局部的，我能觀測到的事件點跟我必須是重合的。所以根本沒有“遠處的某個事件和我處于同一個時刻”，或者“我看到遠處某個東西的速度”，或者“宇宙膨脹中星系遠離我的速度”，所有的觀測都是在同一點上切矢量在Frenet標架上的投影。至于坐標時是什么含義，其實并沒有含義，繞著黑洞的圓周運動角速度$\frac{d\phi}{dt}$也沒有任何含義，只是一種記號罷了。比如說，我看著夜空，自己轉(zhuǎn)了一圈，在我看來遠處的恒星飛快地轉(zhuǎn)了一圈，線速度遠遠超過光速。但是這只是一種“坐標速度”，實質(zhì)上只是從不同時刻光子達到我的視網(wǎng)膜上強行定義出來的一個速度，而不是某個切矢量在我的局部實驗室上的投影，所以無所謂超不超光速的問題。

所以最后，我們也只能說，一個坐標在物理上相當(dāng)于對時空的一種度量方式，而并沒有別的特別的意義。?

在流形上有世界線，于是有4-速度，也就是普通的單位切向量。固有時即為類時曲線的長度（的相反數(shù)）。進一步有Fermi-Walker坐標，就是無空間轉(zhuǎn)動的觀測者坐標，從微分幾何角度來看就是一種特殊的Frenet標架。有了這個標架，就可以作投影來計算測量的物理量。 狹義相對論幾個經(jīng)典的效應(yīng)/佯謬，從幾何角度看都很容易，比如尺縮、鐘慢、光的Doppler頻移、Einstein圓盤、孿生子佯謬。需要注意的是，在平直時空的物理就是狹義相對論，并不一定要取慣性坐標系，比如勻加速的Rindler坐標，它的Christoffel符號非零，但是Riemann張量仍然為0。畢竟Christoffel符號不是張量，隨坐標變換是很隨意改變的。再比如孿生子佯謬也僅僅用到Minkovski時空類時測地線的固有時最長，而不是很多人說的需要廣義相對論。即使你閑著用運動者的坐標系算，靜止在地球上的那位走的仍然是測地線，照樣最長。

至于廣義相對論，從廣義相對論的角度來看，引力并不作為一種力，?“慣性運動”/“勻速直線運動”是測地運動。站在地球上，實際受到的力只有地面的支持力，所以每時每刻都在加速，偏離墜向地心的慣性運動。 Einstein場方程與測地方程可以看成GR的兩個基本假設(shè)。納入作用量體系的話，Einstein場方程、測地線方程、能動量守恒方程都是自洽的。

經(jīng)典電動力學(xué)的formulation

在彎曲時空中，電磁學(xué)如以下所述。

首先有一個四維電磁勢A。它給出電磁張量：

由此定義位移電流張量：

彎曲時空中的電磁規(guī)律就是下面這兩條：

四維電流密度與位移電流張量聯(lián)系；洛倫茲力密度由四維電流密度給出。

在平直時空中，在平常的那個坐標里面，事情就更加簡單了。電場和磁場整合在這樣一個電磁張量場里面：

（算上c的話就是E/c）

Maxwell方程就是：

前一個方程是電磁張量自身的對稱性，后一個方程表示電磁場由電流產(chǎn)生。其中的4-電流為

這樣一個方程除了好看以外并沒有什么用。不過用電磁張量做坐標變換是很好的。至于Lorentz變換，只需要記住正x方向的勻速直線運動就夠用了。

總的來說，只要記住四維Lorentz流形上的電磁張量場這個圖像就行了。

經(jīng)典電動力學(xué)的其它花樣

不涉及坐標變換的時候，直接把電場和磁場看成兩個場，套用Maxwell方程

所有問題就都解決了。

涉及坐標變換的時候再請出電磁張量（記住其形式）。此外當(dāng)然還要記住Lorentz變換的形式：

對電磁張量做Lorentz變換，當(dāng)然可以算矩陣，不過用前面說的基展開形式也許會清晰一點。比如說，給定一個電磁場，把它變換到沿x正方向以速度v運動的觀測者，其y軸方向的電場是多少?？梢赃@樣算：只需要算dt'*dy'這一項的系數(shù)，它包含在dt*dy,dx*dy,dz*dy這三項里邊，這三項分別貢獻-gamma Ey，gamma?v Bz，0，于是結(jié)果就出來了。

說到底，張量分量的變換直接按照\partial x^\mu/\partial x^\nu的上下標匹配就行了。這個partial就直接按照Lorentz變換的形式來。結(jié)果是一樣的。

關(guān)于其它花樣，主要是Maxwell方程在特殊情形下的應(yīng)用，比如最經(jīng)典的靜電場，靜磁場，傳播，激發(fā)這四個問題。都是技術(shù)性的，不多說。

總結(jié)一下。電磁場就是洛倫茲流形上的二階張量場。如果不涉及坐標變換問題，直接用坐標形式的微分/積分Maxwell方程就可以解決所有問題。如果涉及坐標變換，就要對電磁張量做變換，變換的方法有兩種：partial/partial對準上下角標變換，或者直接用dx運算。結(jié)果是一樣的。這兩種變換方式不只適用于Lorentz變換，對于加速坐標等等一樣能適用。