我們考慮乘積空間的維數(shù)。

定理? 設(shè)X，Y是度量空間，則 Ind(X×Y）≤IndX+IndY? ，? ind（X×Y）≤indX+indY。

定理? 設(shè)X是度量空間且dimX≤n，則存在可完備度量空間 X*使得X可作為稠密子集嵌入到X*中且dimX*≤n。

上述定理 并不是說每個(gè)度量空間的完備化的維數(shù)等于這個(gè)度量空間的維數(shù)。事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論并不成立，例如，有理數(shù)空間Q的維數(shù)是0，但它的完備化實(shí)數(shù)空間R的維數(shù)1。

為了證明緊化定理，我們先證明一個(gè)引理。

引理? ?設(shè)X是可分可度量化空間，則X存在完全有界的相容度量。

定理? 設(shè)X可分可度量化空間且dimX≤n，則存在X的一個(gè)可度量化的緊化γX 使得dimγX≤n