今天給大家?guī)淼氖歉咧袛?shù)學(xué)解立體幾何添加輔助線的技巧~

一、定義法

添加輔助線——求角問題

解決異面直線夾角、線面角、二面角、面面垂直的問題時，通常需要結(jié)合定義法求解。

可是題目往往不會那么好心的為我們給出滿足定義的所有條件，此時就需要添加輔助線，使已知條件滿足某個定義，即把定義中缺少的線、面、體補全，所以理解并熟知立體幾何當(dāng)中的定義、概念很重要。

總結(jié)一下就是：按照定義條件作輔助線湊條件。

1.定義法作輔助線求異面直線所成的角

2.定義法作輔助線求線面角

3.定義法作輔助線求二面角

上述各例都是利用定義法作平行線和垂線，湊足條件后利用定義找到相應(yīng)的角，結(jié)合解三角形得到相應(yīng)的答案。

二、定理法

添加輔助線—證明平形&垂直問題

證明空間中的平行和垂直問題利用定義法一般較為麻煩，通常采用判定定理和性質(zhì)定理。

來證明，利用定理作出輔助線，構(gòu)造定理使用的條件．故定理法作輔助線即找滿足定理的條件，核心為作平行線和垂線。

1.添加平行線的策略

把不在一起的線集中到一個圖形中，構(gòu)造三角形、梯形的中位線，平行四邊形、矩形、菱形的對邊等，通過圖形性質(zhì)就可得到所需的平行關(guān)系。

2.添加垂線的策略

立體幾何中的許多定理是與垂線有關(guān)的，如三垂線定理，線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運用這些定理，就需要作輔助線把沒有的垂線補全。

尤其要注意平面的垂線，因為有了平面的垂線，才能建立空間直角坐標(biāo)系和使用三垂線定理或其逆定理。

作垂線方法：等腰三角形或正三角形取底邊中點，連接頂點和中點；連接正方形、菱形的對角線；直立方體，可連接上下面中心；構(gòu)造勾股定理等構(gòu)造垂直關(guān)系。

三、割補法

添加輔助線解決三視圖或求體積、表面積問題

幾何體的三視圖，常?？梢钥醋魇怯苫編缀误w(如正方體、長方體)切割出的幾何體的三視圖。

作直觀圖時，可以畫出正方體(或長方體)，在此基礎(chǔ)上切割并想象三視圖得到所需幾何體的直觀圖。

利用輔助線或輔助面，通過“割”或 “補”把一些線面關(guān)系放到一些特殊的幾何體中思考，或把原幾何體分割成幾個特殊的常見的簡單幾何體，使各種線、面關(guān)系易于理解。

四、中心對稱問題中的對稱連線法

當(dāng)遇到對稱幾何體或幾何面的問題時，如球、正三棱錐、立方體、圓、正三角形、矩形、平行四邊形等，根據(jù)題意可以把對稱幾何體或幾何面的中心幾何面的外心、內(nèi)心、垂心、重心和所求問題涉及的點線面連接起來，然后利用幾何體或面的性質(zhì)求解問題。

例如平行四邊形連對角線；圓的問題向圓心連線；球的問題向球心連線等，使問題簡單易解。

總 結(jié)

立體幾何作輔助線問題，看到求角想定義，看到求證想定理，看到結(jié)論想性質(zhì)．定義、定理是打開解題思路的關(guān)鍵，也是引入輔助線的基礎(chǔ)。

所以運用這些定義、定理或性質(zhì)時，就需要把沒有的線補上．尤其要注意平面的垂線，因為有了平面的垂線，才能建立空間直角坐標(biāo)系，才能使用三垂線定理或其逆定理。

對于復(fù)雜的幾何體，分割成若干個常見的幾何體求解；

對于抽象的幾何體則補全為常見的幾何體求解，即“中點琢磨中位線，定理、性質(zhì)湊條件；

復(fù)雜抽象想熟體，切割添補是利器，有了垂面作垂線，對稱體面中心連” 。

作輔助線的目的就是把一些分離的條件通過添加輔助線聯(lián)系起來，集中在一個圖形中，構(gòu)造出三角形、平行四邊形、矩形、菱形，或者利用三角形、梯形的中位線來作出所需要的平行線等。

這樣就可以通過解三角形等，求得要求的量，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決。

數(shù)學(xué)大師

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