預(yù)備知識(shí)：

1. 混合積：向量a與b的外積，再與向量c作內(nèi)積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，稱為三向量依順序a，b，c的混合積，記為（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；

2. 混合積性質(zhì)：

   a.當(dāng)a，b，c組成右手系時(shí)，（a，b，c）>0；

   b.當(dāng)a，b，c組成左手系時(shí)，（a，b，c）<0；

3. 幾何意義：（a，b，c）是以a，b，c為鄰邊的平行六面體的體積；

4. 性質(zhì)：

   a.（a，a，c）=0；

   b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；

   c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；

   d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是實(shí)數(shù)）；

5. 三向量a，b，c共面的充要條件是（a，b，c）=0。
   

6. 矩陣乘法運(yùn)算律——
   

   a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

7. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

8. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

9. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

10. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

11. E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

12. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

13. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。

14. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

15. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

試證明下列極限式：lim（n^2+n）^[1/（2n+1）]=1

證：

1. （n^2+n）^[1/（2n+1）]>1，令hn=（n^2+n）^[1/（2n+1）]-1>0；

2. 顯然，2n+1>=3，所以二項(xiàng)式展開(kāi)至少存在前四項(xiàng)，

   n^2+n

   =（1+hn）^（2n+1）

   =1+（2n+1）hn+[（2n+1）2nhn^2]/2+[（2n+1）2n（2n-1）hn^3]/6+……

   >[（2n+1）2n（2n-1）hn^3]/6

3. hn

   <{[6n（n+1）]/[（2n+1）2n（2n-1）]}^（1/3）；

4. 2n+1>n，1/（2n+1）<1/n且n>=2時(shí)，2n-1>=n+1，即（n+1）/（2n-1）<=1

   則n>=2時(shí)，（n+1）/[（2n+1）（2n-1）]<1/n，

   則0<（n^2+n）^[1/（2n+1）]-1=hn<（3/n）；

5. lim（3/n）=0，則lim（n^2+n）^[1/（2n+1）]=1.

解析幾何——

例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

證明三個(gè)向量mb-nc，nc-la，la-mb必共面.

證：

（mb-nc，nc-la，la-mb）

=（mb-nc）x（nc-la）（la-mb）

=（mbxnc-mbxla-ncxnc+ncxla）（la-mb）

=（mbxnc-mbxla+ncxla）（la-mb）

=lmn（b，c，a）-l^2m（b，a，a）+l^2n（c，a，a）-m^2n（b，c，b）+lm^2（b，a，b）-lmn（c，a，b）

=lmn（b，c，a）-lmn（c，a，b）=0，則向量mb-nc，nc-la，la-mb必共面，證畢。

高等代數(shù)——

例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：如果A=（B+E）/2，則A^2=A當(dāng)且僅當(dāng)B^2=E.

證：

1. A^2=（B+E）^2/4=（B^2+2B+E）/4；

2. 若A^2=A，即（B^2+2B+E）/4=（B+E）/2，解得B^2=E.

到這里！