預選賽題 5.

(1)?這是容易的，只要考慮對角線全為?，其它元素全為??的矩陣，其行列式為?。如果??為奇數(shù)則任意調(diào)換矩陣的兩行即可。

(2)?先來說明怎么將??矩陣的行列式問題轉(zhuǎn)換為??矩陣的行列式問題：對于??的??矩陣?，我們考慮如下的步驟：

1. 將其變?yōu)?；

2. 構(gòu)造矩陣?，其行列式與???相同；

3. 將第??行都加上第一行，得到?，其中??為所有元素全為??的??階方陣。那么?。
   

現(xiàn)在對??直接寫??不等式，得到?，則對應的?。分別代入?，它們都滿足?。

(3) 本問賽時我沒有任何思路，直接抄的如下論文：Clements, G. F., & Lindstr?m, B. (1965). A Sequence of (±1)-Determinants with Large Values. Proceedings of the American Mathematical Society, 16(3), 548–550.

后來發(fā)現(xiàn)可以用概率方法做。具體來說考慮隨機矩陣?，其中每個元素都等可能地取??或?。寫出行列式的定義

其中?，則根據(jù)期望的線性性質(zhì)有

因此當??充分大時，存在某個??使得?，對應的?。當??時容易比較?。

預選賽題 6.

1. 高中題，直接取??并注意到??即可得到?。

2.?如果這樣的??存在，令?，則??是方程??的兩根。記?，其中??為整數(shù)，，則?。而

且??充分大時?，因此?，這樣??就能表示為?。

此時再次寫出?。由于?，因此?。但此時?，矛盾。因此這樣的??不存在。

實際上直接抄??定理證明也可以，不過對這個問題來說多少有點小題大做。