寫畢設的時候?qū)懖幌氯チ伺既粎⒘艘幌沦悾谷换爝M了決賽。于是想著把預選賽個人解寫一下，結(jié)果拖到?jīng)Q賽了才想起來......總之寫一篇專欄測試一下專欄插入公式，順便算是留個檔。

以下完成情況不代表賽時完成情況。

預選賽題 1.

答案為 (B)。賽時根本沒思考，直接扔 Matlab 秒了。

下面簡單人手分析一下。作因式分解：

寫?，，可以得到??的單調(diào)性（也即??的正負）如下表所示：

開始時?，此時??嚴格增大到?。我們希望?，此時解得?，因此 (A) 錯誤。

接下來?。如果?，此時?，因此球狀閃電的半徑會減小到?，然后保持不變，此時球狀閃電不會消失，因此 (C)(D) 均錯誤。

預選賽題 2.

答案為 (A)(B)(C)(D)。賽時沒太想明白，一直在考慮把大八面體搞成正八面體及其變體做，沒有想過其實八面體可以有頂點度數(shù)為?，寄了。

本題我知道的結(jié)論是

• 若記??為??的最大值，則?。

證明 (?).?首先說明??可以無限接近于?：考慮一條線段?，將八面體??的??個頂點放在很靠近??的地方，剩下的??個頂點全部放到很靠近??的地方，此時?；將八面體??的??個頂點放在??附近，?個頂點放在??附近，此時?。顯然只要適當放大一點??就能將??放在??內(nèi)部，此時?。

下面說明?：事實上，?的每條棱長度都不超過?。這是因為，我們注意到對于??的任意一條棱?，一定存在??上的棱??使得?。因此對??上的任意兩個頂點?，經(jīng)過??的棱一定存在四條由??到??的路徑使得這些路徑都使用了不同的棱。顯然每條路徑的長度都至少為?，因此??的棱長之和?。

?具體可以到多大還有待探索。

預選賽題 3.

答案為 (B)。這題賽時我又是直接 Matlab 爆破的，屬于是能不自己算就算不了一筆。

具體嚴格計算也比較簡單。設??為??先手的獲勝概率，?是??先手的獲勝概率。首先注意到?，這是因為??先手抽完之后就變成了??拿??張牌先手輸?shù)母怕省?/p>

如果??先手沒有抽到鬼牌，那么同上可知??的獲勝概率為?；若??抽到了鬼牌，同上分析可知??的獲勝概率為?。因此

利用??可以算得??的通項公式：

代入選項得到??時??最大。

這題感覺可以改高考題出。

預選賽題 4.

答案為 (C)。

一開始覺得這是個圖論問題，手畫了兩下發(fā)現(xiàn)并不是，，。然后我審題還審歪了，沒注意每個點只能過一次，畫了個螺旋，最后隨便畫了個回起點的路徑，寄。

后來仔細想了想這個問題，發(fā)現(xiàn)如果以順時針的整體趨勢去轉(zhuǎn)，那么四個角上可以各賺??分鐘，而其它地方左轉(zhuǎn)右轉(zhuǎn)可以互相抵消，因此平均下來最優(yōu)方案應該就是??分鐘。

看了看標答，相當于用??定理推出了左轉(zhuǎn)與右轉(zhuǎn)個數(shù)之差一定是?，然后再進行平均即可。

喜報：公式算圖片插入，還只能限制每個專欄插 100 張，那我們下個專欄再見，，