很水的微積分004：反函數(shù)
- 反函數(shù)
- 反函數(shù)的定義域/值域，是原函數(shù)的值域/定義域
- 唯一性
- 從復(fù)合函數(shù)的角度看
- $\forall x \in D, g[f(x)]=x$
- $\forall x \in D, g \circ f$ 是恒等映射
- x 映射到 x
- 從映射的角度看
- 滿射：$\forall y \in R, \exist x \in D, f(x)=y$
- 單射：$x_1 = x_2 \Leftrightarrow y_1 = y_2$ （一一映射）
- 雙射：滿射且單射（一一對應(yīng)）
- 反函數(shù)存在定理：如果一個函數(shù)是雙射的話，
- 一定存在反函數(shù) $f^{-1}$，逆映射 inverse map
- 一個函數(shù)的反函數(shù)等于它自己，則它的函數(shù)圖像關(guān)于$y=x$ 對稱
- 如 $y= \frac{1-x}{1+x}$
- mapping: 將原象與象對應(yīng)起來，是集合與集合之間的一種關(guān)系
- 集合 + 一定結(jié)構(gòu) = 空間 space
- 線性空間，測度空間
- operator: 從空間到空間到映射
- 微分算子，梯度算子，不定積分
- 線性算子
- functional: 是從空間到數(shù)域的映射
- function: 從數(shù)域到數(shù)域的映射
- set: 集合論的研究對象，“一堆東西”
- 集合里的東西，叫元素
- number ring
- 設(shè)$S$是復(fù)數(shù)集的非空子集，如果$S$中的數(shù)對任意兩個數(shù)的和、差、積仍屬于$S$，則稱$S$是一個數(shù)環(huán)
- number field
- 設(shè)$S$是復(fù)數(shù)集的非空子集，如果$S$中的數(shù)對任意兩個數(shù)的和、差、積、商仍屬于$S$，則稱$S$是一個數(shù)環(huán)
- 數(shù)環(huán) + 商運算 = 數(shù)域
- linear space
- 設(shè)$V$是一個非空集合，$F$是一個數(shù)域，存在$V$內(nèi)部的加法和$V$與$F$之間乘法，
- 加法滿足：交換律、結(jié)合律、零元素、負元素
- 乘法滿足：1 乘率、數(shù)因子分配律
- 則$V$稱為數(shù)域$F$上的線性空間
- 數(shù)域$F$稱為線性空間$V$的系數(shù)域/基域
- $F$中的元素：scalar
- $V$中的元素：vector
- linear transformation
- 變換：$V$是數(shù)域$K$上的線性空間，$T$是$V$到自身的一個映射，使對于任意向量 $x\in V$，$V$中都有唯一的向量$y$與之對應(yīng)，則稱$T$是$V$的一個變換/算子
- 線性變換：$T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)$, where $x, y \in V$ and $k, l \in K$
標簽：
