這一篇我們主要研究三角函數(shù)的積分方法

第一節(jié) 應(yīng)用三角恒等式的積分

一、公式

二、應(yīng)用

例1：計(jì)算

因?yàn)橛?/p>

所以

注意這里的絕對(duì)值，因?yàn)樵趚∈[0,π/2]中，y始終大于0，因此|sinx|=sinx

即

例2：計(jì)算

貌似公式用不上啊？其實(shí)，我們用x/2代替公式中的x就可以了，也就是：

即

注意這里的|cos(x/2)|，因?yàn)閤∈[π,π/2]中，y并不是正數(shù)，因此

|cos(x/2)|=-cos(x/2)

即

結(jié)果為

例3：計(jì)算(稍微有些難度)

我們處理它的辦法比較特殊：讓積分內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式乘上除上其共軛表達(dá)式

化簡(jiǎn)得到

我們先解決等號(hào)右邊的第一項(xiàng)積分，即

其實(shí)把它稍微變一下形式就可以了

令t=sin x，則dt/dx=cosx => dt=cosx dx

等號(hào)右邊的第二項(xiàng)積分

綜上所述

die

第二節(jié) 三角函數(shù)冪的積分

一、sin x和cos x的冪

①對(duì)于∫cos^7 x * sin^10 x dx，一般方法是對(duì)奇次冪做手腳，具體方法如下：

將帶有奇次冪的sinx(或cos x)分離一個(gè)sin x(或cosx)，即：

而

即

令t=sin x，則dt=cosx dx，所以

結(jié)果為

又因?yàn)閠=sin x，所以

②如果冪都不是奇數(shù)，比如

我們要做的就是利用倍角公式：

展開(kāi)，得到

分開(kāi)求積分，得到

二、tanx的冪

設(shè)tanx的指數(shù)為n

n=1的情形比較簡(jiǎn)單，這里不談

①n=2

根據(jù)

替換，然后求解

②n≥3

我們可以把tan^2 (x)提出來(lái)，然后改寫(xiě)為sec^2 (x) -1

比如

先把tan^2 (x)提出來(lái)

也就是

化簡(jiǎn)

令t=tan x，則dt=sec^2 (x) dx

即

綜上所述