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淺談高等數(shù)學(xué)（3）

2022-01-23 11:48 作者:-YD-LM- 0人讀過 | 我要投稿

第三期導(dǎo)數(shù)的定義

導(dǎo)數(shù)，作為唯一一個(gè)在中學(xué)系統(tǒng)教授的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，在各種函數(shù)的極值、凹凸性、單調(diào)性等諸多問題中發(fā)揮著重要作用；同時(shí)，顯而易見地，它應(yīng)該是高數(shù)里最簡單的一塊了吧——你非要這么說也未嘗不可，因?yàn)樗_實(shí)是高數(shù)的重要基礎(chǔ)，而且我們?cè)谛W(xué)二年級(jí)都學(xué)過。應(yīng)當(dāng)說，從導(dǎo)數(shù)起，我們才算真正進(jìn)入了高等數(shù)學(xué)中的一大板塊——微積分。

（聲明：無窮小的比較、連續(xù)性與間斷點(diǎn)之后都會(huì)講述到）

導(dǎo)數(shù)，在多門學(xué)科中都有所體現(xiàn)，但這諸多的體現(xiàn)都有個(gè)共同點(diǎn)，那就是“變化率”。變化率指的是一段時(shí)間內(nèi)某一數(shù)值的變化與時(shí)間之比，它反映了事物的某一可用數(shù)來衡量的特性增減的快慢。反映到函數(shù)上，就是兩點(diǎn)間連線的斜率，也就反映了函數(shù)增減的快慢。導(dǎo)數(shù)前，我們認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)的增減是定性的，也就是說只能知道函數(shù)是增還是減。但我們有一種感覺，能“大差不差”地判斷增減的快慢： $y%3Dx$ 一直是以一個(gè)速度增加的，而 $y%3Dx%5E2$ 在 $%5B0%2C%2B%5Cinfty)$ 內(nèi)是越增越快，之后幾乎筆直上升……可究竟有多快呢？我們也說不清。

導(dǎo)數(shù)恰恰解決了我們的困惑，它就描述了函數(shù)增減的快慢。那導(dǎo)數(shù)怎么求呢？

我們實(shí)際是要知道函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化率。這個(gè)區(qū)間應(yīng)當(dāng)是在不對(duì)實(shí)際結(jié)果產(chǎn)生影響的范疇之內(nèi)的，畢竟數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用學(xué)科。沒有人喜歡誤差，那——能不能沒有誤差呢？生活中我們總說理論上可以，實(shí)際操作不可能。但現(xiàn)在必須很明確地指出，這回理論上也不行了——函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處根本沒變化??？難道做分母為0的計(jì)算嗎？我們不禁想到了前述的知識(shí)：極限。沒錯(cuò)，還是“逼近”的思想，這一思想貫穿微積分的始終。請(qǐng)看下圖：

這是 $y%3Df(x)%3Dx%5E2$ 的圖像，現(xiàn)在我要求它在 $x%3D0.4$ 處的增加速度，也就是在 $C(0.4%2C0.16)$ 處的增加速度。我們的目標(biāo)是：讓自變量的增量（以后均稱“變化”為“增量”，記變量 $u$ 的增量作 $%5CDelta%20u$ ） $%5CDelta%20x$ 無限趨于0，但嚴(yán)格不等于0，此時(shí)先聯(lián)結(jié) $C$ 和離得較遠(yuǎn)的 $B(1%2C1)$ ，得到了一條直線，它的解析式我們都會(huì)求，是 $y%3D1.4x-0.4$ 。然后，依次聯(lián)結(jié) $C$ 與一串點(diǎn)： $D(0.8%2C0.64)%2CE(0.6%2C0.36)%2CF(0.5%2C0.25)$ ，又得到三條直線： $y%3D1.2x-0.32%2Cy%3Dx-0.24%2Cy%3D0.9x-0.2$ 。這樣的操作可以無限進(jìn)行下去。這些直線解析式的一次項(xiàng)系數(shù)，也就是它們的斜率，近似地刻畫了函數(shù)在 $x%3D0.4$ 處的變化率。兩個(gè)點(diǎn)取得越近，算出的變化率也就越精準(zhǔn)。當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)取得無窮近（但不重合）時(shí)，算出的變化率就是完美的。

我們發(fā)現(xiàn)，只要取的那個(gè)點(diǎn)離 $C$ 足夠近，就可以得到圖中的紅線。這條紅線，也就是 $C$ 與離它無窮近的點(diǎn)的連線，被稱為函數(shù)在該點(diǎn)處的切線。切線的斜率，也就完美地刻畫了函數(shù)在該點(diǎn)處的變化率。請(qǐng)注意：這切線看似與函數(shù)的某一范圍內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，但實(shí)則“有兩個(gè)”，一個(gè)是 $x%3D0.4$ 時(shí)，一個(gè)是 $x$ 取離0.4無窮近的數(shù)時(shí)——否則，怎么通過一個(gè)點(diǎn)來確定一條直線，從而判斷函數(shù)的變化率呢？

當(dāng) $%5CDelta%20x$ 無限趨近于0時(shí)，顯然 $%5CDelta%20y%3D%5CDelta(x%5E2)%3D(x%2B%5CDelta%20x)%5E2-x%5E2$ 也無限趨近于0。這給了我們一些啟示：如果某些函數(shù)在某點(diǎn)處當(dāng) $%5CDelta%20x$ （從兩邊）趨近于0時(shí)無法做到 $%5CDelta%20y$ 也趨近于0，或說在某點(diǎn)處根本沒有定義呢？那么比值 $%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D$ 當(dāng) $%5CDelta%20x%5Cto%200$ 時(shí)的極限，也就是所謂的導(dǎo)數(shù)，就不存在了。這時(shí)，我們說這樣的函數(shù)是在該點(diǎn)不可導(dǎo)的；反之，就是該點(diǎn)可導(dǎo)的。

鋪墊都已做好，我們不妨動(dòng)手求一下切線的斜率，也就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

$%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B(0.4%2B%5CDelta%20x)%5E2-0.4%5E2%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B0.8%5CDelta%20x%2B(%5CDelta%20x)%5E2%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto%200%7D0.8%2B%5CDelta%20x$

$%3D0.8$ .

因此，函數(shù) $y%3Dx%5E2$ 在 $x%3D0.4$ 處的導(dǎo)數(shù)，也就是切線的斜率，就是 $0.8$ .我們進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)函數(shù)的每一點(diǎn)處似乎都能有一條切線，都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)。我們不妨求一下由這每一點(diǎn)上的每一個(gè)導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的導(dǎo)函數(shù)。

$%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B(x%2B%5CDelta%20x)%5E2-x%5E2%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D2x%2B%5CDelta%20x%3D2x.$

這就意味著，有了這個(gè)式子，我們就可以知道這個(gè)函數(shù)在任何一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，而不用一個(gè)一個(gè)去求了。下面給出定義：

定義? 設(shè)函數(shù) $y%3Df(x)$ 在點(diǎn) $x_0$ 的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 $x$ 獲得增量 $%5CDelta%20x$ 時(shí)，因變量也獲得增量 $%5CDelta%20y$ ，且 $%5CDelta%20y$ 與 $%5CDelta%20x$ 之比當(dāng) $%5CDelta%20x%5Cto0$ 時(shí)的極限存在，則稱函數(shù) $y%3Df(x)$ 在點(diǎn) $x_0$ 處可導(dǎo)，稱這個(gè)極限為函數(shù) $y%3Df(x)$ 在點(diǎn) $x_0$ 處的導(dǎo)數(shù)，記作

$f'(x_0)$ 或 $y'%7C_%7Bx%3Dx_0%7D$ 或 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%7C_%7Bx%3Dx_0%7D$ 或 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20df(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%7C_%7Bx%3Dx_0%7D.$

若函數(shù)在開區(qū)間 $I$ 內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)于任一 $x%5Cin%20I$ 的全體導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的一個(gè)新的函數(shù)，稱為原函數(shù) $y%3Df(x)$ 的導(dǎo)函數(shù)，記作

$f'(x)$ 或 $y'$ 或 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$ 或 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20df(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D.$

其中， $%5Cmathrm%20d$ 稱為“微分符號(hào)”，用于表示一個(gè)趨近于0的增量。有了這個(gè)符號(hào)，我們就不需要再寫極限符號(hào)了。

對(duì)于需要記憶的公式而言，第一和第二種記法自然更為簡潔，我們?cè)诖撕蟮亩ɡ砑肮街卸嘤眠@兩種。但是，后兩者著實(shí)比前兩種優(yōu)越得多，尤其是最后一種最為明了。我們發(fā)現(xiàn)，如果把 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20df(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$ 改成 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20df%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D(x)$ ，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn) $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20df%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$ 可以看做一個(gè)新的對(duì)應(yīng)法則（也就是 $f'$ ）。這兩種記法還有更多的優(yōu)越性，將會(huì)在以后陳述。