【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep8】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
夾逼原理：若三個(gè)數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}從某項(xiàng)開(kāi)始成立xn<=yn<=zn，n>N0，且lim xn=lim zn=a，則lim yn=a。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 編）
《解析幾何》（呂林根 許子道 編）
《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子旭 編）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修 於崇華?編）》）——
求數(shù)列極限——
a.若an>0（n=1，2，……），且lim（an/an+1）=l>1，則lim an=0.
b.若an>0（n=1，2，……），且lim（an+1/an）=a，則lim?an^（1/n）=a.
證明——
a.
lim（an/an+1）=l>1，對(duì)于任意ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|an/an+1-l|<ε，即l-ε<an/an+1<l+ε；
由1，可得一系列不等式——
l-ε<an/an+1<l+ε
l-ε<an-1/an<l+ε
……
l-ε<aN+1/aN+2<l+ε
由于an>0，上下各式相乘可得——
（l-ε）^（n-N）<aN+1/an+1<（l+ε）^（n-N）；
化簡(jiǎn)上式：aN+1/（l+ε）^（n-N）<an+1<aN+1/（l-ε）^（n-N）；
由夾逼準(zhǔn)則：lim?an=0.
b.
lim（an+1/an）=a，對(duì)于任意ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，|an+1/an-a|<ε，即a-ε<an+1/an<a+ε；
由1，可得一系列不等式——
a-ε<an/an-1<a+ε
……
a-ε<aN+2/aN+1<a+ε
由于an>0，上下各式相乘可得——
aN+1*（a-ε）^（n-N-1）<an<aN+1*（a+ε）^（n-N-1），
[aN+1^（1/n）][（a-ε）^（1--N/n-1/n）]<an^（1/n）<[aN+1^（1/n）][（a+ε）^（1--N/n-1/n）]，
[aN+1^（1/n）][（a-ε）^（--N/n-1/n）]（a-ε）<an^（1/n）<[aN+1^（1/n）][（a+ε）^（--N/n-1/n）]（a+ε）；
由夾逼準(zhǔn)則：a-ε<lim an^（1/n）<a+ε，由于ε為任意小正數(shù)，則lim?an^（1/n）=a.
解析幾何——
例題（來(lái)自《解析幾何（呂林根 許子道 編）》）——
證明：四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面重心距離的三倍。用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)。
證：設(shè)四面體四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0），B（x1，0，0），C（x2，y2，0），D（x3，y3，z3），面ABC，面BCD，面CDA，面DAB重心分別為G1，G2，G3，G4，BC中點(diǎn)記為E，CD中點(diǎn)為F，DG1和AG2的交點(diǎn)記為O——?
AE=AB+BE=AB+BC/2
=（x1+（x2-x1）/2，y2/2，0）
=（（x1+x2）/2，y2/2，0）；
DE=DB+BE=DB+BC/2
=（x1-x3+（x2-x1）/2，-y3+y2/2，-z3）
=（-x3+（x1+x2）/2，-y3+y2/2，-z3）；
AG1=（2/3）AE
=（（x1+x2）/3，y2/3，0）；
AG2=AD+DG2=AD+2DE/3=AD+2（AE-AD）/3=（2AE+AD）/3
=（（x1+x2+x3）/3，（y2+y3）/3，z3/3）；
因?yàn)?strong>EG1=EA/3，EG2=ED/3，∠AED=∠AED，所以三角形G1AG2∽三角形AED，所以，G1G2/AD=EG1/EA=1/3，∠EG1G2=∠EAD；
∠EG1G2=∠EAD，則G1G2平行于AD，則∠OG1G2=∠ODA，且∠G1OG2=∠DOA，則三角形G1OG2∽三角形DOA，G2O/AO=G1G2/AD=1/3；
AO=（3/4）AG2
=（3/4）（（x1+x2+x3）/3，（y2+y3）/3，z3/3）
=（（x1+x2+x3）/4，（y2+y3）/4，z3/4）……交點(diǎn)坐標(biāo)；
下面證明BO與BG3共線即可——
BO=BA+AO
=（-x1+（x1+x2+x3）/4，（y2+y3）/4，z3/4）
=（（-3x1+x2+x3）/4，（y2+y3）/4，z3/4），
CD=（x3-x2，y3-y2，z3），
AF=AC+CD/2
=（x2+（x3-x2）/2，y2+（y3-y2）/2，z3/2）
=（（x2+x3）/2，（y2+y3）/2，z3/2），
AG3=2AF/3
=（（x2+x3）/3，（y2+y3）/3，z3/3），
BG3=BA+AG3
=（（-3x1+x2+x3）/3，（y2+y3）/3，z3/3），
BO與BG3共線；……這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面重心距離的三倍；
同理，CO與CG4共線，即四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線段共點(diǎn)。
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子旭）》）——
設(shè)R為包含2^（1/2）的最小數(shù)環(huán)：
a.求R=？
b.證明，偶數(shù)環(huán)是R的真子環(huán)。
證——
a.
R={2a+b*2^（1/2）|a， b為任意整數(shù)}，顯然R包含2^（1/2），且對(duì)加減法封閉，驗(yàn)證乘法：
[2a+b*2^（1/2）][2c+d*2^（1/2）]=2[2ac+bd]+[2bc+2ad]2^（1/2）是R的元素，
R為數(shù)環(huán)；
設(shè)P為包含2^（1/2）的任意一個(gè)數(shù)環(huán)，則[2^（1/2）][2^（1/2）]=2是P的元素，則對(duì)任意整數(shù)a，b，2a+b*2^（1/2）是P的元素，則R是P的子環(huán)，即R為包含2^（1/2）的最小子環(huán)。
b.
一切形如2a+0*2^（1/2）=2a，a為任意整數(shù)，是R的元素，則偶數(shù)環(huán)是R的子環(huán)；
由于2^（1/2）不是偶數(shù)，則偶數(shù)環(huán)是R的真子環(huán)。
就到這里！
