因果結(jié)構(gòu)與倉田真白失蹤案
本文大概是在模仿Randall Munroe的What If系列，試圖用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C解決一個(gè)荒謬的問題，即：ガルパ☆ピコ～大盛り～中的倉田真白失蹤案能否在相對論框架下實(shí)現(xiàn)。Thoroughly answering?a stupid question can take you to some pretty interesting places.
本文靈感來源于：
這篇文章試圖在狹義相對論的框架下解釋倉田真白失蹤案，但是如后文所論述，狹義相對論的Minkovski時(shí)空并不能容許一條閉合因果曲線的存在，即使所以相對論效應(yīng)再強(qiáng)（比如列車速度達(dá)到0.99c），也無法實(shí)現(xiàn)這樣的失蹤案；除非相對論效應(yīng)“超越極端”，即通過快子實(shí)現(xiàn)超光速通訊。換句話說，透子和真白交流的電話是一部快子電話，能夠把信號(hào)傳遞給過去。
不過本文并不想討論快子電話的問題（本文假設(shè)透子和真白交流的電話單純是通過電磁波傳播的信息），而是試圖在廣義相對論框架下討論：是否有可能通過特殊方法扭曲過的時(shí)空度規(guī)，構(gòu)造出一條符合倉田真白失蹤案的閉合因果曲線，從而破壞因果結(jié)構(gòu)。
首先定義因果結(jié)構(gòu)的一些概念。
時(shí)空的因果結(jié)構(gòu)
考慮一個(gè)洛倫茲流形。我們想要考慮上面的因果結(jié)構(gòu)：它是一個(gè)global的性質(zhì)，并不是簡單從度規(guī)看出的local的性質(zhì)。
直觀上來說，信息的傳遞最快只能是光速，所以零測底線包含了時(shí)空的因果結(jié)構(gòu)信息。
首先，在一個(gè)點(diǎn)上如何定義過去、未來和因果無關(guān)？局部來說也有一個(gè)光錐，按照切矢的長度是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)區(qū)分是因果相關(guān)還是因果無關(guān)。對于因果相關(guān)的部分，按照g(X,Y)<0這個(gè)等價(jià)關(guān)系分為兩個(gè)等價(jià)類，一個(gè)稱為未來，一個(gè)稱為過去。哪邊屬于未來哪邊屬于過去則是人為指定的（人為對時(shí)間箭頭的選定）。指向未來類與指向過去類的定義可以通過連續(xù)性延伸到零向量。這光錐無非就是通過這個(gè)事件點(diǎn)的零測地線構(gòu)成的錐體。
下面大部分都是一些概念性的東西。雖然如此，把這些概念澄清清楚，對物理圖像的想象是很重要的。
我們說一個(gè)洛倫茲流形是time-orientable的，如果在它上面可以連續(xù)地定義出每個(gè)點(diǎn)的未來方向和過去方向。我們只考慮time-orientable的洛倫茲流形，它排除了一些過于奇怪的情況，比如人為把某個(gè)區(qū)域內(nèi)部的時(shí)間箭頭反轉(zhuǎn)造出不連續(xù)性?？傊?，現(xiàn)在這個(gè)洛倫茲流形上有一個(gè)良定義而且連續(xù)的時(shí)間箭頭。
流形上的曲線可以劃分為類時(shí)曲線（也叫時(shí)序曲線）、零曲線、類空曲線。非類空曲線也叫做因果曲線，它上面的切向量可以是零的，也可以是類時(shí)的。它可以表示因果的傳遞。因?yàn)榱餍我呀?jīng)是時(shí)間定向的，所以因果曲線也可以自然地時(shí)間定向，即區(qū)分因和果，或者說是指向未來或者指向過去的因果曲線。類空曲線則沒有所謂的時(shí)序定向的說法了。
兩種特殊的曲線：閉合類時(shí)曲線和閉合零曲線。這些閉合的因果曲線會(huì)導(dǎo)致一些因果性的異常，下面會(huì)仔細(xì)說。
洛倫茲流形上的兩個(gè)點(diǎn)之間可以定義因果/時(shí)序關(guān)系：
簡單來說，因果先于包括了時(shí)序先于（不在光錐上）和horismos（恰好在光錐上）。這里時(shí)序就是類時(shí)的意思，換句話說就是有質(zhì)量粒子能夠移動(dòng)到另一個(gè)事件點(diǎn)；而因果包括了時(shí)序和零，表示信息傳遞的最大速度。
進(jìn)而可以定義時(shí)序未來（過去）和因果未來（過去）：
這個(gè)定義還可以擴(kuò)展到一個(gè)集合的時(shí)序未來和因果未來：
只要在流形上每個(gè)點(diǎn)定義了時(shí)序未來和因果未來的集合，流形的因果結(jié)構(gòu)就完全清楚了。
注意：零曲線在共形變換下不變，所以共形變換是不改變時(shí)空的因果結(jié)構(gòu)的。所以用彭羅斯-卡特圖來討論時(shí)空的整體因果結(jié)構(gòu)是很好的。
一個(gè)集合稱為非時(shí)序的，如果上面的任意兩個(gè)點(diǎn)無法用時(shí)序曲線相連。比如Minkovski時(shí)空中的類空超曲面就是非時(shí)序的。非時(shí)序曲面是一個(gè)恰當(dāng)?shù)摹巴瑫r(shí)性曲面”（不過當(dāng)然其中并不存在哪個(gè)最好）。
接下來定義Cauchy developement的概念。一個(gè)非時(shí)序集合S的future Cauchy developement D^+(S)定義為：所有「指向過去的因果曲線必然與S相交」的點(diǎn)組成的集合。類似的有past Cauchy developement?？梢岳斫鉃?，D^+(S)內(nèi)部的所有點(diǎn)的“因”都完全由S決定，即S決定論地包含了D^+(S)內(nèi)部“將要發(fā)生事件”的所有信息。同理，D^-(S)內(nèi)部所有點(diǎn)的“果”都在S內(nèi)，所以S包含了D^-(S)內(nèi)部“已經(jīng)發(fā)生事件的所有信息”（當(dāng)然只是決定論的說法）。這兩個(gè)集合的邊界叫做（未來/過去）Cauchy視界，它們都是零曲面。想象兩個(gè)底對底的圓錐。
如果一個(gè)S的Cauchy developement是整個(gè)時(shí)空，那么叫它Cauchy面。有Cauchy面的時(shí)空稱為整體雙曲的，它有比較好的因果結(jié)構(gòu)，初值問題（Cauchy問題）也比較良定義。
我們定義時(shí)序破壞集為閉合類時(shí)曲線經(jīng)過點(diǎn)組成的集合。類似地可以定義因果破壞集。這種集合的存在，以及奇點(diǎn)的存在，都會(huì)破壞Cauchy面，從而對初值問題造成嚴(yán)重影響。
比如來看這個(gè)Minkovski時(shí)空的Penrose圖。
45度的斜線就是零測地線。在中間隨便畫一條非時(shí)序曲面，它就是Cauchy面。顯然，Minkovski時(shí)空是整體雙曲的。
對于Kruskal時(shí)空（同樣，45度的斜線就是零測地線），Cauchy面需要橫跨universe和parallel universe：
所以它也是整體雙曲的。
對于RN黑洞：
顯然它并不是整體雙曲的。
對于Kerr黑洞也是一樣：
這三種黑洞的因果結(jié)構(gòu)從Penrose圖上都可以直觀看出。
對于漸進(jìn)平坦的時(shí)空，Penrose定義了一下幾種infinity：
回去看一下Minkovski時(shí)空的Penrose圖就可以理解這幾種定義的區(qū)別。
進(jìn)一步，我們把一個(gè)漸進(jìn)平坦時(shí)空的future null infinity的因果過去的邊界定義為未來視界H^+。類似可以定義過去視界H^-?？纯瓷厦娴腜enrose圖就能理解這個(gè)定義。Penrose的一個(gè)定理說明：未來視界的generator（即在一段區(qū)域內(nèi)在未來視界上的null geodesic）沒有未來終點(diǎn)。換句話說，零測地線可以進(jìn)入到H^+上，但不能離開它。
可以證明，如果CTC存在，那么要么奇點(diǎn)存在，要么弱能量條件會(huì)被破壞（即要求負(fù)能量）。
倉田真白失蹤案
假想因?yàn)檫h(yuǎn)古random star的影響，時(shí)空的度規(guī)發(fā)生了異變。真白在列車上遇到的四個(gè)人并不是鬼，而是Morfonica另外四人在通訊中斷后上車，到達(dá)村澤站時(shí)候的樣子。這個(gè)解釋在相對論框架下能否行得通呢？
“電話聯(lián)絡(luò)”這個(gè)信息傳遞的過程并不是很好刻畫，雖然是電磁波，但是還有一些額外的轉(zhuǎn)化為聲波的過程，導(dǎo)致信息傳遞速度并不是光速。為了方便起見，把電話抽象成光信號(hào)：
真白在村澤站上車的時(shí)候，遇到了透子等四人。同時(shí)，她們向透子之前所在車站位置發(fā)送光信號(hào)；
光信號(hào)被“之前的”透子接收到，此后透子等四人上車；
經(jīng)過一段時(shí)間，透子等人到達(dá)村澤站，遇到上車的真白。
把真白發(fā)送光信號(hào)這個(gè)事件點(diǎn)記為A，透子接收到光信號(hào)這個(gè)事件點(diǎn)記為B。
粗略來看，這個(gè)失蹤案有一個(gè)很不合理的地方：在真白上車的同時(shí)，存在兩個(gè)透子。一個(gè)透子在她面前，聽一個(gè)透子在出發(fā)的車站。但是畢竟我們說了，因?yàn)檫h(yuǎn)古random?star的影響，時(shí)空的度規(guī)發(fā)生了異變，不再是Minkovski時(shí)空。因此，并不存在global的“同時(shí)性”概念，也就不存在所謂“同一時(shí)刻有兩個(gè)透子”。但是，我們可以引用前面提到的一個(gè)概念：非時(shí)序集合。雖然“同時(shí)性”概念并不well-defined，但是我們至少可以說，在一個(gè)非時(shí)序的超曲面上，不應(yīng)該同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)透子，因?yàn)檫@兩個(gè)透子之間不可能通過時(shí)序曲線連接。所以我們看到的這個(gè)非時(shí)序超曲面也許根本不是一個(gè)非時(shí)序超曲面。
更加仔細(xì)考慮一下，這個(gè)失蹤案中存在因果性的錯(cuò)亂。比如，假設(shè)Morfonica事先約定好光信號(hào)表示“不要上車”這個(gè)信息。透子等人到達(dá)村澤站，遇到上車的真白，此時(shí)透子決定讓十分鐘前的自己不要上車，于是讓真白給自己之前所在的位置發(fā)送光信號(hào)；十分鐘前的透子接收到光信號(hào)，決定不上車。那么透子本身就不可能存在于列車上。這是一個(gè)祖父悖論。
用因果結(jié)構(gòu)的術(shù)語來說，A因果先于B（更仔細(xì)的說法是A horismos B），但B同時(shí)時(shí)序先于A（所以當(dāng)然也因果先于A）。這說明存在一條閉合的因果曲線，因果破壞集非空。
這樣一個(gè)失蹤案的解釋能否在物理上成立？下面給出三點(diǎn)結(jié)論：
在狹義相對論的框架下，這種失蹤案無法發(fā)生。因?yàn)樵贛inkovski時(shí)空中，倉田真白失蹤案要求A點(diǎn)位于B點(diǎn)的過去光錐之內(nèi)，但是同時(shí)又要在B的未來光錐之內(nèi)，而Minkovski時(shí)空整體是平直的，過去光錐和未來光錐沒有重合的地方。所以不要指望能通過“0.99c速度的列車”來完成倉田真白失蹤案：狹義相對論效應(yīng)再強(qiáng)，也無法實(shí)現(xiàn)。
在（經(jīng)典的）廣義相對論的框架下，這種失蹤案「有可能」能夠發(fā)生。它基于Einstein場方程的某些解中CTC（封閉類時(shí)曲線）的存在。后文會(huì)對此進(jìn)行詳細(xì)的論述。根源在于，廣義相對論只限制了局部的光錐和速度，但是并沒有限制全局的因果和“全局速度”（就像宇宙大爆炸）。
Chronology protection conjecture認(rèn)為物理定律不允許宏觀尺度的時(shí)間旅行。即使CTC能夠“經(jīng)典地”存在，它也會(huì)必然地被某些半經(jīng)典或者量子效應(yīng)在宏觀上避免。"If a method to travel faster than light exists, and one tries to use it to build a time machine, something will go wrong: the energy accumulated will explode, or it will create a black hole."但是現(xiàn)在既然沒有完整的量子引力理論，這一點(diǎn)也無非是一個(gè)假設(shè)。因此，本文只從經(jīng)典的廣義相對論角度來考慮。
下面詳細(xì)地闡述第二點(diǎn)。特別地，我們提出兩個(gè)實(shí)現(xiàn)失蹤案的機(jī)制：Kerr黑洞與Alcubierre引擎。
Kerr黑洞
對于一個(gè)帶有零電荷和非零角動(dòng)量的黑洞，其度規(guī)為（Boyer-Lindquist坐標(biāo)下）：
為了對應(yīng)于Minkovski時(shí)空的Cartesian coordinates，這里面的r應(yīng)該解釋為橢球坐標(biāo)的參數(shù)：
顯然，這個(gè)黑洞的奇點(diǎn)為圓環(huán)x^2+y^2=a^2,z=0。
注意到，這時(shí)候無窮大紅移面（穩(wěn)態(tài)極限面）和事件視界是分隔開來的：
可以通過Penrose過程從能層中抽取轉(zhuǎn)動(dòng)能。
假如我們穿過外視界和內(nèi)視界進(jìn)入所謂的antiverse(r<0的部分，漸進(jìn)平直)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)奇點(diǎn)環(huán)是暴露在外的。在這個(gè)antiverse里面，保持r略微小于0，theta=90度，phi為周期運(yùn)動(dòng)（換句話說，就是保持在奇點(diǎn)環(huán)的平面上，貼在奇點(diǎn)環(huán)的外延做圓周運(yùn)動(dòng)）。此時(shí)路徑的線元為：
如果保證r的絕對值比較小，這個(gè)線元就是負(fù)的，所以這個(gè)圓環(huán)是類時(shí)曲線。這就造出了一條CTC。
對于這起失蹤案，我們需要的并不完全是CTC，所以解釋需要稍微變動(dòng)一下：
透子等人接收到“來自自己未來”的信號(hào)之后上車，而列車?yán)@著奇點(diǎn)環(huán)轉(zhuǎn)了一圈，遇到了正在等車的真白。這時(shí)候發(fā)送光信號(hào)，因?yàn)閺?qiáng)烈的時(shí)空扭曲，過去在車站的透子正好處于現(xiàn)在的透子的光錐內(nèi)部，她進(jìn)而發(fā)送光信號(hào)給過去的自己。這個(gè)解釋當(dāng)然會(huì)發(fā)生命定悖論（如果透子故意發(fā)送不同的信號(hào)，那么過去的她接收到的是什么信號(hào)？），但是至少經(jīng)典GR內(nèi)是行得通的。也許Novikov self-consistency principle能保證透子發(fā)送的信號(hào)必須是自己之前接收到的那個(gè)。
Alcubierre引擎
也就是所謂的曲率引擎，我們姑且不去管負(fù)能量的要求，以及霍金的chronology protection conjecture會(huì)不會(huì)通過量子效應(yīng)毀壞這個(gè)引擎，單純從度規(guī)的角度去看是否能夠?qū)崿F(xiàn)這起失蹤案。至于負(fù)能量的要求，就當(dāng)作神奇的遠(yuǎn)古random star能夠提供好了。
首先定義這樣一個(gè)函數(shù)：
其中R和sigma是兩個(gè)任意的參數(shù)（sigma比較大，R代表引擎的半徑）。這個(gè)函數(shù)長這樣：
在半徑R之內(nèi)大約為1，在遠(yuǎn)離的地方指數(shù)衰減為0。
Alcubierre度規(guī)為：
在軌跡附近半徑為R的球體內(nèi)部，時(shí)空有明顯的彎曲。在遠(yuǎn)離這個(gè)球體的地方，時(shí)空是漸進(jìn)平坦的。
在球體中心，時(shí)空是平坦的。（所以能夠放置“飛船”）
expansion θ of the volume elements associated with the Eulerian observers如下圖所示：
也就是說，引擎后方的時(shí)空拉伸，而前方的時(shí)空壓縮。
4.對于旅行者而言，d\tau=dt，所以完全沒有任何時(shí)間膨脹效應(yīng)，他感受到的就是坐標(biāo)時(shí)。所以曲率引擎的乘客并不需要任何額外的時(shí)鐘校對。
5.旅行者走的是類時(shí)測地線，所以不需要任何外界作用力。
6.sigma越大，引擎周邊的引潮力越大，但是內(nèi)部越平坦。反之，引擎周邊引潮力小，但是內(nèi)部不平坦。
7.設(shè)計(jì)x_s(t)函數(shù)，使得它在一開始和結(jié)束后靜止，只有中間在運(yùn)動(dòng)。那么在開始前和結(jié)束后，時(shí)空都是普通的Minkovski時(shí)空。所以可以說，這只是通過對于平直時(shí)空的一個(gè)局域（空間和時(shí)間上都是局域的）擾動(dòng)實(shí)現(xiàn)超光速旅行。
8.飛船的光錐是x=(v+1)t和x=(v-1)t，顯然飛船自己的軌跡在光錐里面，沒有違背局部的因果。
9.和tachyon不同，tachyon的世界線是類空的，但是曲率引擎雖然超光速，世界線仍然是類時(shí)曲線。
進(jìn)而可以模擬出乘客的視角：
以及靜態(tài)觀測者的視角：
至于粒子的運(yùn)動(dòng)，可以通過類時(shí)測地線給出：
這樣一個(gè)度規(guī)本身并不含有CTC，不過既然它能超光速了，造出一個(gè)CTC來也并不困難。因?yàn)槌馑贌o非是（看起來）在類空的區(qū)域內(nèi)跑，這個(gè)區(qū)域本身沒有時(shí)間正負(fù)的概念，選個(gè)不同的坐標(biāo)就會(huì)導(dǎo)致“時(shí)間倒流”。假如我們自己所在一個(gè)慣性系坐標(biāo)，然后曲率引擎以一個(gè)勻速v<1“整體”沿著反方向運(yùn)動(dòng)，而引擎本身的設(shè)定速度為mu>1（并且要求v*mu>c^2），那么在我們的坐標(biāo)下面，曲率引擎的軌跡就變成（當(dāng)然還可以算出這時(shí)候的度規(guī)張量）：
雖然在全局坐標(biāo)下的確是“時(shí)間倒流”了（當(dāng)然，粒子的軌跡仍然在光錐內(nèi)部，并沒有局部的因果破壞），不過這個(gè)全局坐標(biāo)本身并沒有什么意義。但是，假如我們把兩個(gè)引擎拼接起來：
就能夠?qū)崿F(xiàn)一條實(shí)打?qū)嵉?/span>CTC（綠色箭頭指示）。注意，這兩個(gè)路徑看似相交，其實(shí)在二維上可以分隔得很開，沒有時(shí)空擾動(dòng)的互相影響。
想象一輛列車，自西向東開；而車頭到車尾有Alcubierre引擎連接。乘客從車頭上車，經(jīng)過Alcubierre傳送到車尾下車。對于司機(jī)來說，乘客完成了一次超光速運(yùn)動(dòng)。而對于車外的人來說，乘客先下車后上車，發(fā)生了因果性的破壞。（如果你覺得列車裝不下一個(gè)Alcubierre引擎的話，其實(shí)只需要把參數(shù)R取成2m左右，sigma盡量大一點(diǎn)，時(shí)空的扭曲就并不會(huì)對列車的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響，在bubble外邊影響是指數(shù)衰減的）
對于倉田真白失蹤案，則情況稍微好一點(diǎn)：并沒有CTC出現(xiàn)，而是只有閉合因果曲線：透子等人接到電話之后上車，經(jīng)過一次換乘到達(dá)真白的車站，而到達(dá)的瞬間，真白恰好打出電話，這通電話就是透子之前接到的那通。
最終，并沒有誰真正意義上經(jīng)歷了時(shí)間旅行，她們的世界線并沒有自交。比如說，如果在B站臺(tái)相遇后，所有人下車，那么世界線就普通地向后延伸，剛才的因果混亂就此消失。
總結(jié)
總之本文提出了兩種實(shí)現(xiàn)倉田真白失蹤案的可能方法：
遠(yuǎn)古random?star把地球帶入一個(gè)Kerr黑洞，穿過了穩(wěn)態(tài)極限面和兩個(gè)事件視界（這時(shí)候上一個(gè)宇宙倒是已經(jīng)沒了），并最終穿過奇點(diǎn)環(huán)進(jìn)入一個(gè)漸進(jìn)平坦的時(shí)空。在這個(gè)時(shí)空里，真白照常在村澤站等車。透子等人接收到來自未來的信號(hào)后上車，列車跑出地球繞著奇點(diǎn)環(huán)一圈后回到地球，到達(dá)真白的車站會(huì)合，并給過去的自己發(fā)送信號(hào)。
遠(yuǎn)古random?star使列車上裝配有Alcubierre引擎。透子等人接收到來自自己未來的信號(hào)后，上車并通過Alcubierre引擎從車頭傳送到車尾下車；之后換乘一輛反方向的車，同樣通過Alcubierre引擎從車頭傳送到車尾下車，到達(dá)村澤站，與真白會(huì)合，并給過去的自己（在目前這個(gè)坐標(biāo)系下其實(shí)同樣是未來的自己）發(fā)送信號(hào)。
