理發(fā)師悖論真是一個(gè)悖論嗎？

撰文?|?文蘭（中國(guó)科學(xué)院院士、北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授）

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什么是悖論

我們給悖論下一個(gè)“進(jìn)行式”的定義：悖論就是導(dǎo)致矛盾但原因不明的推理。
根據(jù)這一定義，一旦矛盾的原因找到了，悖論也就不再是悖論了。另外，矛盾的原因應(yīng)該比較難于察覺。
這一定義可能與許多文獻(xiàn)中對(duì)悖論的定義不同。筆者主張這一定義。

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理發(fā)師悖論

某村有一理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。請(qǐng)問(wèn)他給不給自己理發(fā)？
若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。
若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。
這是一段有名的、非常有趣的推理。由于找不出矛盾的原因，這段推理就被稱為“理發(fā)師悖論”。
但真的找不出矛盾的原因嗎？
本文的目的就是說(shuō)明，其實(shí)這一矛盾的原因并不難察覺，故理發(fā)師悖論不足以稱為悖論。

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理發(fā)師悖論的解決

讓我們把理發(fā)師悖論再敘述一遍：
某村存在一理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。請(qǐng)問(wèn)他給不給自己理發(fā)？
若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。
若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。
如果這一次還不容易看出矛盾的原因，請(qǐng)注意，第二次陳述時(shí)，把第一次陳述里的第三個(gè)字 “有”換成了“存在”。其他沒動(dòng)。
這樣一換，是不是比較容易看出矛盾的原因了呢？
是的，應(yīng)該說(shuō)這樣一換就比較容易看出，矛盾的原因是假設(shè)了這樣一個(gè)理發(fā)師的存在。因此， 這一矛盾無(wú)非說(shuō)明，具有這種性質(zhì)的理發(fā)師（即恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)）在本村不存在罷了。
矛盾的原因找到了，悖論也就不成其悖論了，問(wèn)題也就解決了。

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文字游戲？

但矛盾的原因是怎樣找到的呢？我們把“有”換成了“存在”。這是不是文字游戲，是不是偷換概念，是不是改變了問(wèn)題呢？
當(dāng)然不是?！坝小本褪恰按嬖凇?。把“有”換成“存在”，沒有改變問(wèn)題，只是用語(yǔ)更科學(xué)、更醒目，使人注意到，原來(lái)這里隱藏著一個(gè)“存在”的假設(shè)。
假設(shè)，或者說(shuō)前提，對(duì)推理是至關(guān)重要的。知道有假設(shè)，推出矛盾就不會(huì)大驚小怪，無(wú)非說(shuō)明假設(shè)不正確罷了。但若不知道有假設(shè)，推出矛盾就會(huì)無(wú)法解釋，就要驚呼為悖論了。因此，千萬(wàn)不要丟失、模糊任何假設(shè)。

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引經(jīng)據(jù)典

按說(shuō)理發(fā)師悖論這樣就解決了。不過(guò)人們可能不太放心，問(wèn)題破解得太容易了：只換了一個(gè)詞“存在”，就啟發(fā)、導(dǎo)致了答案。這個(gè)答案太平淡無(wú)奇了。
為了讓人徹底相信，這個(gè)答案一點(diǎn)也不平淡，問(wèn)題確實(shí)出在存在性上，讓我們引經(jīng)據(jù)典，回顧集合論創(chuàng)始人康托的一個(gè)定理。為此先要回顧一下集合論的幾個(gè)概念：映射、滿射、子集的集。
設(shè)X和Y為兩個(gè)集。所謂一個(gè)從X到Y(jié)的映射f: X→Y是指一個(gè)法則，它對(duì)X中的每一x，指定Y中唯一一個(gè)元素。這個(gè)為x指定的唯一元素稱作x在f下的像，記為f(x)。稱X為映射的定義域，Y為映射的值域。如果值域Y中的每一個(gè)元素都是定義域X中某個(gè)元素的像，就稱f是一個(gè)滿射。如圖所示：

我們還需要一個(gè)概念：子集所成的集。設(shè)X為一個(gè)集。用P(X)表示集X的所有子集所成的集。例如，若X={1, 2, 3}，則

。

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康托定理

康托定理??對(duì)任何集X，不存在從X到P(X)的滿射。
證明??任取一個(gè)映射f: X→P(X)。要證f不是滿射。為此令

我們來(lái)證明，不存在z∈X，使得f(z)=C。
為此用反證法。假設(shè)存在z∈X，使得f(z)=C。那么，
若z?C，則z∈f(z)。但f(z)=C，故z∈C。矛盾。
若z∈C，則z?f(z)。但f(z)=C，故z?C。也矛盾。
這說(shuō)明不存在z∈X，使得f(z)=C。故f不是滿射，康托定理得證。
康托定理是集合論最早，也最重要的定理之一。這個(gè)定理之優(yōu)美，大概可以代表人類的智慧。這個(gè)定理一般放在大學(xué)數(shù)學(xué)系的三年級(jí)課程《實(shí)變函數(shù)論》中講，但它幾乎不用什么基礎(chǔ)知識(shí)，是中學(xué)生可以理解、欣賞的?？低卸ɡ淼年愂鲆话銥椋安淮嬖趶腦到P(X)的一一對(duì)應(yīng)”，但實(shí)際上不存在滿射。不存在滿射當(dāng)然就更不存在一一對(duì)應(yīng)。

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康托定理與理發(fā)師悖論的比較

康托定理與理發(fā)師悖論有什么關(guān)系呢？
我們來(lái)給康托定理一個(gè)“理發(fā)”的解釋。用表示該村的人的集。對(duì)每一村民x，用f(x)表示村里被x理發(fā)的那些人的集，即x的“顧客集”。那么康托所考慮的集合

不存在z∈X，使得f(z)=C。翻譯成理發(fā)的語(yǔ)言就是：
村里不存在這樣的理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。這是康托證明的一個(gè)深刻的事實(shí)。
讓我們把康托推理的過(guò)程也翻譯成理發(fā)的語(yǔ)言看看：
若z?C，則z∈f(z)。但f(z)=C，故z∈C。矛盾。（若他給自己理發(fā)，則他是一個(gè)給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該不給自己理發(fā)。矛盾。）
若z∈C，則z?f(z)。但f(z)=C，故z?C。也矛盾。（若他不給自己理發(fā)，則他是一個(gè)不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應(yīng)該給自己理發(fā)。也矛盾。）
可見，理發(fā)師推理就是康托推理。

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評(píng) 述

那么，為什么康托定理與理發(fā)師悖論一個(gè)是定理，一個(gè)是悖論呢？
康托明確寫道，這樣一個(gè)z的存在只是假設(shè)。所以推出矛盾毫不驚訝，而是立即做出結(jié)論：不存在這樣一個(gè)z。
理發(fā)師悖論卻用日常語(yǔ)言的“有”模糊了科學(xué)語(yǔ)言的“存在”。“存在”換成“有”以后，就不知不覺從假設(shè)變成了天經(jīng)地義，于是矛盾無(wú)法解釋，成了“悖論”?？梢?，我們?cè)谇懊姘选坝小睋Q回成“存在”，確實(shí)不是文字游戲。理發(fā)師悖論的問(wèn)題確實(shí)出在存在性上。
但說(shuō)“換回”對(duì)嗎？誰(shuí)先誰(shuí)后呢？
康托定理（1895），理發(fā)師悖論（1907），康托在先。因此，說(shuō)“換回”是對(duì)的。
康托深刻地證明了，不存在這樣一個(gè)古怪的理發(fā)師。12年后，理發(fā)師悖論全盤照收了康托的推理過(guò)程，卻模糊了康托的存在性假設(shè)，致使矛盾無(wú)法解釋，造成“悖論”。
這不像個(gè)惡作劇嗎？

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關(guān)于羅素悖論

讀者可能知道羅素悖論，聽說(shuō)過(guò)“理發(fā)師悖論是羅素悖論的通俗版”的說(shuō)法。如上所述，理發(fā)師悖論幾乎是對(duì)康托定理的一個(gè)惡作劇。那么羅素悖論呢？
這個(gè)問(wèn)題留給讀者追蹤、思考最好。但急于知道答案是人類的優(yōu)良天性，所以也簡(jiǎn)單說(shuō)明一下：羅素悖論（1902）顯然受到了康托定理的啟發(fā)，但它與理發(fā)師悖論有很大的不同。它的假設(shè)隱蔽得多，以致當(dāng)時(shí)的集合論無(wú)法察覺。當(dāng)然該假設(shè)最終還是被后來(lái)的集合論徹底破解了，所以羅素悖論早已不再是悖論了。但羅素悖論極大地刺激了當(dāng)時(shí)的集合論，對(duì)集合論的進(jìn)步有重大的意義。
【后記】其實(shí)，像理發(fā)師悖論這樣易于破解的“悖論”可以要多少有多少，都是對(duì)康托定理的惡作劇。比如“恰愛那些不愛自己的人”，“恰恨那些不恨自己的人”，“恰表?yè)P(yáng)那些不表?yè)P(yáng)自己的人”，“恰批評(píng)那些不批評(píng)自己的人”，“恰修理那些不修理自己的機(jī)器人”，“恰引用那些不引用自己的書”，等等等等。理發(fā)作為這些“反身及物動(dòng)詞”中的一個(gè)只是特別生動(dòng)形象罷了。

作者簡(jiǎn)介

文蘭（1946-），1969年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系，1981年在北京大學(xué)獲得碩士學(xué)位，導(dǎo)師為廖山濤先生。1986年在美國(guó)西北大學(xué)獲得博士學(xué)位，導(dǎo)師為 R. Williams教授。1988-1990年在北京大學(xué)從事博士后研究，后留校任教。文蘭主要從事微分動(dòng)力系統(tǒng)方面的研究，在不可逆系統(tǒng)C1封閉引理、C1連接引理、流的穩(wěn)定性猜測(cè)、星號(hào)流問(wèn)題、Palis稠密性猜測(cè)等動(dòng)力系統(tǒng)的若干基本問(wèn)題上做出重要貢獻(xiàn)；1997年獲陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，1999年當(dāng)選為中國(guó)科學(xué)院院士，2005年當(dāng)選為第三世界科學(xué)院院士，2011年獲華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。

本文根據(jù)文蘭院士在雙流棠湖中學(xué)所做公眾報(bào)告整理成文。原文發(fā)表于《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第12期，原標(biāo)題為《康托定理與理發(fā)師悖論》。

出品：科普中國(guó)