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1.小波包理論

小波變換只分解每一級的近似部分，而細(xì)節(jié)部分保持不變。因此，小波變換的分辨率還不夠高。所以，當(dāng)需要對細(xì)節(jié)部分進(jìn)一步分析時，不能滿足使用要求。而小波包分解不同，小波包分解可以分解每一級的細(xì)節(jié)部分。小波包分解本質(zhì)是，將原始信號分別通過高通濾波器與低通濾波器獲得高頻分量與低頻分量，然后將得到的分量重復(fù)這個過程，直到滿足需要合適的頻率精度范圍。小波包分解將原始信號分解成2的n次方個不同層次的頻段。小波包三層分解過程如下圖所示。

2.小波包熵值的降噪法

2.1小波包最優(yōu)基

用盡量少的系數(shù)就能表達(dá)信號f(t)的所有特點(diǎn)，這樣的小波包基就是最優(yōu)基，因此，尋找小波包最優(yōu)基是目前小波包分析的重點(diǎn)和難點(diǎn)之—。描述系數(shù)的特性，首先需設(shè)置一個代價函數(shù)，之后尋找使該代價函數(shù)最小的基。對于一個確定的矢量，代價最小即為效率最高的表達(dá)方式，這個基即為小波包的最優(yōu)基。

現(xiàn)階段研究中規(guī)定了很多代價函數(shù)，比較常用的代價函數(shù)有Shannon嫡，能量對數(shù)嫡。根據(jù)代價函數(shù)M(x)運(yùn)算出各個結(jié)點(diǎn)系數(shù)的代價函數(shù)大小，該代價函數(shù)大小即嫡值，以下為根據(jù)嫡值求得最優(yōu)小波包基的詳細(xì)步驟：

1)將嫡值寫入表示小波包基的框架內(nèi)，假設(shè)一待測信號的嫡值為100，將其分解后所得各結(jié)點(diǎn)嫡值。

2)最底層的熵值標(biāo)上*號。

3)把最下層的嫡值記作初始值，在此處稱上一層的結(jié)點(diǎn)為父結(jié)點(diǎn)，下一層的結(jié)點(diǎn)稱為子結(jié)點(diǎn)。如果父結(jié)點(diǎn)的嫡值比子結(jié)點(diǎn)的嫡值之和低，那即在父結(jié)點(diǎn)嫡值上記下*號，反之則不記，且對此值加括弧，并且把這2個子結(jié)點(diǎn)的嫡值和寫在括弧外邊，諸如此類，直至最高一層。

4)審視所有結(jié)點(diǎn)的嫡值，取標(biāo)記*到最上層的結(jié)點(diǎn)，選定結(jié)點(diǎn)的下層若干子結(jié)點(diǎn)一律不考慮，此時所有帶*號的結(jié)點(diǎn)即為根據(jù)嫡值選出的最優(yōu)小波包基。用此方法選擇最優(yōu)小波包基的實(shí)質(zhì)是用含有最少能量的系數(shù)去表達(dá)最多的信息，從而精簡運(yùn)算過程，突出有用信息。

2.2小波基函數(shù)的選取

小波分析中使用的小波基函數(shù)具有多樣性，小波包變換是基于小波變換而來的，基礎(chǔ)理論與小波變換相同，所以小波基函數(shù)同樣適用于小波包變換。在利用小波包變換方法對信號進(jìn)行處理的過程中，選取不同小波基函數(shù)可以突出信號的不同特征。

MATLAB軟件中支持的小波基函數(shù)有15種，其中最常用小波基函數(shù)有Mexihat小波、Haar小波、Daubechies(dbN)小波、Symlet(symN)小波等。目前，針對某一信號進(jìn)行分析時，如何選取小波基函數(shù)尚且沒有一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，大多數(shù)情況下都會根據(jù)被處理信號的特征并結(jié)合相關(guān)研究經(jīng)驗(yàn)選擇最佳小波基函數(shù)，在選擇小波基函數(shù)時主要考慮其對稱性、正交性等特性。在考慮上述小波基函數(shù)特征的基礎(chǔ)上，對幾種常用的小波基函數(shù)的整體特性進(jìn)行總結(jié)，如下表所示。

2.3閾值的選取

在小波包降噪的時候，閾值的獲取不可估量，對于降噪的結(jié)果是否理想有著非常大的作用。如果閾值取值過高，那么，在弱信號段，閾值有可能高于有用信號的小波包分解系數(shù)，此時，有用信號就會被劃分為噪聲；如果閾值取值過低，在噪聲較高頻段，閾值有可能低于噪聲的分解系數(shù)，此時，會將噪聲信號判斷為有用信號。

常見的閾值選擇準(zhǔn)則有四種：

固定形式閾值準(zhǔn)則(Sqtwolog)：

自適應(yīng)閾值準(zhǔn)則(Rigrsure)：

啟發(fā)式閾值準(zhǔn)則(Heursure)：

極小化極大閾值準(zhǔn)則(Minimaxi)：

不同的閾值準(zhǔn)則選取規(guī)則不一樣，因此降噪效果也不一樣，各有利弊，各自的適用頻率范圍如下圖所示。其中，自適應(yīng)閾值準(zhǔn)則(Rigrsure)相對應(yīng)用頻率范圍比較廣泛，閾值處理相對折中，還能夠防止過度降噪，使用率最高。

2.4閾值函數(shù)

閾值函數(shù)的選取，作為小波包降噪的關(guān)鍵，也不容忽視，其選擇是否合理將影響到重構(gòu)信號的準(zhǔn)確性。經(jīng)典的閾值函數(shù)主要有兩種，其函數(shù)形式如下：

硬閾值函數(shù)：

軟閾值函數(shù)：

其中，d為原始分解系數(shù)，λ為閾值。

硬閾值函數(shù)的處理方式為：如果閾值小于小波包分解系數(shù)的絕對值，則保留該系數(shù)，否則將該系數(shù)歸零。這種處理方式會產(chǎn)生信號振蕩；軟閾值函數(shù)的處理方式為：如果閾值小于小波包分解系數(shù)的絕對值，則用系數(shù)絕對值和閾值作差，將差值重新定義為小波包分解系數(shù)，否則將該系數(shù)歸零。這種處理方法雖然不會產(chǎn)生信號振蕩，但是對高頻分量的保留精度不夠高，會影響到后續(xù)信號的重構(gòu)。

2.5小波包嫡值降噪流程圖