作者：Kevin Hartnett，《量子》雜志記者

翻譯，TonyLee，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)翻譯組成員。

?

關(guān)注?哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)?每天獲得更多數(shù)學(xué)趣文

隨機(jī)性似乎使得數(shù)學(xué)命題的證明更困難。但實(shí)際上，經(jīng)常會(huì)讓事情更容易。

?

?

在數(shù)學(xué)家可用的所有工具當(dāng)中，隨機(jī)性似乎沒什么用處。數(shù)學(xué)具有邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，它主要的目標(biāo)是在浩瀚的對(duì)象“海洋”中尋找秩序和結(jié)構(gòu)。正是因?yàn)閿?shù)學(xué)世界不是隨機(jī)的，整個(gè)數(shù)學(xué)宏偉目標(biāo)才有可能實(shí)現(xiàn)。

?

?

然而，最近《量子》雜志的一篇文章《隨機(jī)表面隱藏著錯(cuò)綜復(fù)雜的秩序》（Random Surfaces Hide an Intricate Orde）涉及到了一個(gè)新的證明。在這個(gè)證明中，隨機(jī)性使得一切變得不同。證明結(jié)果還包括到在隨機(jī)構(gòu)建的幾何空間上繪制的棋盤樣圖案。該證明的作者發(fā)現(xiàn)，幾何空間中的隨機(jī)性使棋盤樣的圖案更容易描述。巴黎第十一大學(xué)數(shù)學(xué)家、該論文合著者尼古拉斯·庫里安(Nicolas Curien)也說道，“令人驚訝的是，引入隨機(jī)性能讓你做更多的事情”。

?

?

?事實(shí)證明，隨機(jī)性在很多方面對(duì)數(shù)學(xué)有幫助。

?

??

例如，數(shù)學(xué)家通常想要證明具有某種性質(zhì)的對(duì)象存在，例如具有某種對(duì)稱性的幾何體。?要解決這些存在性問題，最直接的方法是尋找一個(gè)具有對(duì)應(yīng)性質(zhì)的對(duì)象，但這需要一些運(yùn)氣?！拔覀兒茈y展示出一個(gè)具有相關(guān)屬性的特定對(duì)象”，菲爾茲獎(jiǎng)獲得者馬丁海雷爾如是說道，他的領(lǐng)域涉及隨機(jī)過程。

?

?抽象概念可以引導(dǎo)一些在科學(xué)和數(shù)學(xué)中有潛力的想法。?下面與我們一起來看看吧。

?

?如果一個(gè)問題不太可能直接解決，那么人們可能用間接的方式嘗試間接解決。例如，如果您在考慮某一類型的對(duì)象的存在性，你可以這樣思考:?隨機(jī)選擇其中一個(gè)對(duì)象，則選中一個(gè)具備所需性質(zhì)的對(duì)象的可能性要大于0。這種“概率方法”是數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）開創(chuàng)的。

?

?

隨機(jī)性也可以用來尋找非隨機(jī)的固定路徑。最近關(guān)于網(wǎng)格上棋盤式圖案的證明就是這種情況。?研究人員對(duì)一種叫做滲流模型的過程感興趣。在這個(gè)過程中，您想知道如果僅在一種顏色的點(diǎn)上移動(dòng)，那么觀察點(diǎn)在什么條件下可以從網(wǎng)格的一側(cè)移動(dòng)到另一側(cè)。

?

?

當(dāng)你根據(jù)確定性的規(guī)則——沿著規(guī)則網(wǎng)格的嚴(yán)格確定的線——繪制這樣的路徑時(shí)，路徑中后續(xù)的每一步都被之前的每一步所約束。對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)格，此要求是一個(gè)負(fù)擔(dān)。這類似于俄羅斯方塊拼圖中的前幾塊比較容易放置，您可以把它們放在任何您想放的地方，但之后方塊的放置就難很多，因?yàn)樗鼈儽仨毞夏呀?jīng)放置的所有方塊。

?

?

?然而，當(dāng)您的路徑隨機(jī)進(jìn)行時(shí)，您不必?fù)?dān)心您過去走過的每一步。?從某種意義上說，每一步都像第一步一樣自由：只要擲硬幣決定下一步去哪里。

?

?

數(shù)學(xué)家試圖利用這個(gè)事實(shí)。用一種叫做被稱為KPZ公式的推導(dǎo)關(guān)系，將隨機(jī)網(wǎng)格的結(jié)果轉(zhuǎn)換為確定性的結(jié)果，反之亦然?！霸谶@樣的理論下，這意味著你可以隨意在確定環(huán)境下計(jì)算或者在隨機(jī)環(huán)境下計(jì)算”，布蘭迪斯大學(xué)數(shù)學(xué)家、論文合著者奧利維耶·伯納迪如是說道。這一新的工作與以前（更難證明的）關(guān)于在規(guī)則網(wǎng)格上滲流的結(jié)果是一致的，這也使KPZ公式得到了驗(yàn)證。

?

如果一個(gè)數(shù)學(xué)問題比較簡(jiǎn)單，那數(shù)學(xué)家可能不需要使用隨機(jī)性。?但對(duì)數(shù)學(xué)家而言，大多數(shù)重要的數(shù)學(xué)問題都很難直接回答了。?“這可能是顯而易見的，但我還是重申一下，在大多數(shù)情況下，對(duì)于數(shù)學(xué)或理論物理方面的問題，如果不借助一些工具，直接回答是不可能的”。紐約大學(xué)數(shù)學(xué)家保羅·布爾加德（Paul Bourgade）如是說道?！拔覀冎皇菦]有解決問題的工具”。在某些情況下，隨機(jī)性使事情變得更松散，足以問題的解決成為可能。

關(guān)注?哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)?每天獲得更多數(shù)學(xué)趣文