為什么我們要理解幾何意義
看完這個系列的視頻的目標。-形成正確的幾何直觀
1 向量
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01 - 向量究竟是什么？ P2 - 01:41
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三種角度看向量
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01 - 向量究竟是什么？ P2 - 02:29
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數(shù)學(xué)角度思考
向量加法與數(shù)乘
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01 - 向量究竟是什么？ P2 - 05:32
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加法-把向量看成往某個方向邁出一段距離
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01 - 向量究竟是什么？ P2 - 07:13
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乘法-向量的伸縮
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01 - 向量究竟是什么？ P2 - 08:23
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數(shù)學(xué)家為何如此定義？
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01 - 向量究竟是什么？ P2 - 08:47
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向量的意義在于在數(shù)值形式與箭頭形式的轉(zhuǎn)化之中。
2
向量：-基-張成空間-線性相關(guān)
基
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 00:43
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第三種看待向量的角度-兩個標量“縮放向量并相加”壓縮拉伸，可以構(gòu)成二維內(nèi)任何的向量。
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 02:01
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不同的基向量可以構(gòu)成不同的坐標系-線性變換-（涉及到特征值，矩陣p等第四章第五章概念）
基的線性組合
（理解了，一堆向量的線性無關(guān)組合構(gòu)成了n維坐標系的基）
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 03:24
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如何理解線性—如果二維坐標系里一個固定，另一個能夠畫出直線（好牛逼的思想）
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 03:50
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（只有線性無關(guān)才能張成新的空間，也就是秩）
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 04:31
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張成空間的另一個角度解讀：僅通過加法與數(shù)乘兩種基礎(chǔ)運算，能夠獲得的所有可能向量的集合
or，張成空間就是向量所有可能的線性組合
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 05:02
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想象一個向量時，用箭頭，多個時，用點想象向量
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 07:41
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舉一反三，三維中討論。
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 08:00
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幾何想象
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02 - 線性組合、張成的空間與基 P3 - 08:49
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線性相關(guān)的理解
e3 矩陣與線性變換
讓線性代數(shù)的其他內(nèi)容一目了然
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03 - 矩陣與線性變換 P4 - 01:12
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“變換”而不是函數(shù)，暗示強調(diào)是一種運動
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03 - 矩陣與線性變換 P4 - 02:50
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線性的含義（pa=b，好熟悉）
一種直觀化：網(wǎng)格線平行且等距
只要記住兩個基的變換，就能夠推斷出其他向量變化后的位置，而不必觀察變換本身。
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03 - 矩陣與線性變換 P4 - 05:59
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矩陣的意義：一個二維變換的規(guī)律可以由一個矩陣來表示（所以說前面是豎著的，后面橫著的，因為豎著是坐標?。ǖ怯嬎愕臅r候自己有自己規(guī)律）
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03 - 矩陣與線性變換 P4 - 07:57
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矩陣的列看作基向量，向量乘法看作是線性組合
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03 - 矩陣與線性變換 P4 - 10:10
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總結(jié)：矩陣向量乘法就是計算線性變換作用于給定向量的一種途徑。
一個矩陣就是一種特定的空間線性變換。
4
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04 - 矩陣乘法與線性變換復(fù)合 P5 - 02:30
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復(fù)合變換：所以矩陣乘法就是兩個相繼的變換，是作用的合成。懂了。
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04 - 矩陣乘法與線性變換復(fù)合 P5 - 04:27
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與復(fù)合函數(shù)類似。
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04 - 矩陣乘法與線性變換復(fù)合 P5 - 05:17
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純計算
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04 - 矩陣乘法與線性變換復(fù)合 P5 - 06:47
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簡單的推導(dǎo)過程，但是給我建立了更好的概念型框架。
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04 - 矩陣乘法與線性變換復(fù)合 P5 - 08:38
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通過概念去自然而然的理解矩陣的結(jié)合律成立，交換律不成立的原因。良好的解釋大于象征性證明。
e5 推廣到三維
e6 行列式（期待）
幾何意義：是區(qū)域在經(jīng)過線性變換之后相對于單位面積，拉伸擠壓的比例，即面積大小。
行列式為0的幾何意義：矩陣是線性相關(guān)的，張成的空間被壓縮降維。（線性相關(guān)與行列式的關(guān)系明白了）
行列式為負數(shù)：矩陣使得坐標系被翻轉(zhuǎn)了。
計算推導(dǎo)
e7逆矩陣，列空間，零空間，秩
線性方程組是矩陣的一個應(yīng)用
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06 - 逆矩陣、列空間與零空間 P8 - 02:59
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找到這個x使得在經(jīng)過變換a之后與v重合-用幾何的直觀想象過程來解釋求解這一堆負責(zé)的方程組。
關(guān)鍵在于這個變換矩陣A，會壓縮嗎
如果行列式不為0，存在唯一解；就會有逆-逆矩陣的意義在于實現(xiàn)一個什么也不做的變換。（后續(xù)可以把一些向量先帶到其他坐標系計算再帶回來）于是就可以用逆矩陣解得x。
如果為0，空間被壓縮為0體積，不存在逆變換了，“不能把一條線解壓縮為一個平面”。于是只有0解？解仍然可能存在，比如壓縮成的線條空間剛好與v重合。
列空間：
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06 - 逆矩陣、列空間與零空間 P8 - 08:14
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秩；零向量必須在列空間中
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06 - 逆矩陣、列空間與零空間 P8 - 08:57
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列空間：矩陣的列張成的空間。eg：后面的基向量是三維，列空間線性相關(guān)，三維卻只能張成二維空間，那么秩為2。
滿秩的概念
0空間：列空間包含0空間？？滿秩變換后，唯一能落在原點的就是0向量自己；
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06 - 逆矩陣、列空間與零空間 P8 - 09:57
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非滿秩的時候，有一堆向量會在變換后成為0向量。這些向量的集合就是0空間，也就是齊次方程Ax=0的解集。
09 基變換
j矩陣向量乘法的第二種解釋：轉(zhuǎn)變坐標系。
左邊是新系的基向量在本系的表達（可以看作一個線性變換），后面是新系的變化。通過乘法，得到本系的所求向量的表達方式，也就是消除誤解，變換為新系真正提到的向量。
形象理解：把它看作我們對于她的向量的誤解，也就是她實際上想說的東西在我們眼里到底是什么。
如何轉(zhuǎn)化一個矩陣？或者說如何通過最方正好算的坐標系，來得到那些歪七雜八的坐標系里旋轉(zhuǎn)后的向量？
p-1*a*p=b，效果：一種數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)移作用。
p-換到我的系；a-轉(zhuǎn)移動作；p-1-變回她的系。因為正交坐標系是運算最方便的，都得找你當(dāng)中介。（我好牛逼！這是第五章內(nèi)容捏）
a：我們的語言描述的變換；b：他們的語言描述的變換（說不定會更方便，比如相似對角化
10 特征向量與特征值
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10 - 特征向量與特征值 P14 - 01:11
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回顧之前的知識板塊
特征向量：經(jīng)過變換拉扯之后仍然在自己張成的空間內(nèi)?。ㄎ一貞浧饋砹?/p>
特征值：仍然在自己空間里的向量會被拉長或者縮短幾倍。
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10 - 特征向量與特征值 P14 - 04:10
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這兩個概念有啥用：特征向量可以成為三維物體的旋轉(zhuǎn)軸（此時特征值應(yīng)該為1）！考慮一個三維旋轉(zhuǎn)按照某個軸旋轉(zhuǎn)成一定的角度，比考慮相應(yīng)的矩陣直觀！
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10 - 特征向量與特征值 P14 - 04:54
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10 - 特征向量與特征值 P14 - 05:33
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j計算特征值
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10 - 特征向量與特征值 P14 - 07:21
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把問題演化成求這個齊次方程的非0解，并且這個矩陣還得是降維的，不滿秩的
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10 - 特征向量與特征值 P14 - 13:49
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如果基向量是特征向量-對角化？？??！
如果我們的特征向量多到能夠張成全空間，那么我們就能夠改變坐標系，讓這些特征向量成為基向量。
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10 - 特征向量與特征值 P14 - 16:11
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能夠簡化的運算：如果要計算一個轉(zhuǎn)移情況的100次冪，就先換到特征基上，然后計算100次對角矩陣，再轉(zhuǎn)化回來。（前提是特征向量能夠張成全空間！
11 抽象向量空間
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11 - 抽象向量空間 P15 - 01:42
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11 - 抽象向量空間 P15 - 04:45
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線性的嚴格性質(zhì)：可加性，成比例。
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11 - 抽象向量空間 P15 - 05:50
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線性的意義
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11 - 抽象向量空間 P15 - 09:08
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基函數(shù)（讓我想到了控制的空間
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11 - 抽象向量空間 P15 - 11:23
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線性變換與函數(shù)求導(dǎo)的聯(lián)系。
那些公理，就像是發(fā)送文件時的協(xié)議，只有遵守了這些協(xié)議才能夠溝通，運用相同的規(guī)則。
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11 - 抽象向量空間 P15 - 14:49
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為什么定義要如此抽象，以及我們完全可以用一些直觀的東西幫助我們?nèi)コ醪嚼斫??！者m的代價是抽象。
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11 - 抽象向量空間 P15 - 15:49
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學(xué)習(xí)的過程真的只能來源于解決問題。
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