哈密頓力學(xué)概述||理論力學(xué)

2021-09-22 16:36 作者:湮滅的末影狐 0人讀過 | 我要投稿

// 筆者最近在物理學(xué)基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)上好像遇到了一個瓶頸。

// 越往后學(xué)，好像越容易接觸到一些高度抽象的概念，光有高數(shù)線代數(shù)理方法搞不定，例如酉空間辛空間，群論，奇奇怪怪的流形...

// 其實(shí)，一個普普通通不搞純理論的物理人，對這些東西好像也不需要掌握太多...但是我就是想搞清楚一些。

// 就比如這個理論力學(xué)，往簡單了說會套公式就能應(yīng)付了期末考，往難了說什么辛幾何，相空間的余切叢，三維特殊正交群之類奇奇怪怪的概念都來了...

//總之，這些筆記筆者不想簡單應(yīng)付，而想加入自己的理解。最近各種專欄筆記都會更得比較慢，筆者需要等待一個突破...

0 Introduction

理論力學(xué)主要內(nèi)容分為剛體力學(xué)、拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)。

其中，拉格朗日力學(xué)最早引入了廣義坐標(biāo)的概念，用純代數(shù)的方法處理了約束的影響，并給出拉格朗日方程：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20q%7D-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q%7D)%3D0$

其中， $L%3DT-V$ （動能與勢能之差）是系統(tǒng)的拉格朗日量。

拉格朗日力學(xué)的優(yōu)勢在于它能完美解決約束帶來的影響。筆者曾經(jīng)借助拉格朗日方程完成混沌擺的建模和模擬，這也是筆者在計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)課程中的大作業(yè)內(nèi)容。

而哈密頓力學(xué)中則將廣義動量和廣義坐標(biāo)一樣作為獨(dú)立變量，構(gòu)建出哈密頓正則方程，給出動量、坐標(biāo)、哈密頓量的關(guān)系。哈密頓力學(xué)在本質(zhì)上和拉格朗日力學(xué)和牛頓力學(xué)都是等價的，但其數(shù)學(xué)形式在其他領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，其意義是超越經(jīng)典力學(xué)本身的。（當(dāng)你看到在哈密頓力學(xué)中坐標(biāo)與動量在數(shù)學(xué)形式上的對稱關(guān)系，或許會想到量子力學(xué)...）

1 哈密頓正則方程

已知某個經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)有拉格朗日量L，我們定義廣義動量為：

$p_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_i%7D$

然后，代入拉格朗日方程，不難得到

$%5Cdot%20p_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20q_i%7D$

接下來，我們定義系統(tǒng)的哈密頓量：

$H(p%2Cq%2Ct)%20%3D%20-L%20%2B%20%5Csum_%7Bi%7D%20p_i%20%5Cdot%20q_i$

注意，雖然上式右邊顯含? $%5Cdot%20q$ ，但 H 的最終表達(dá)式是 p,q 的函數(shù)，也就是說最終? $%5Cdot%20q$ ?應(yīng)當(dāng)用 p,q 表示。接下來研究哈密頓量的微分：

$%5Cmathrm%7Bd%7DH%20%3D%20-%5Cmathrm%7Bd%7DL%20%2B%20%5Csum_i%20(p_i%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Cdot%20q_i%2B%20%5Cdot%20q_i%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20p_i)$

而拉格朗日量的微分

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7Bd%7DL%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20%2B%20%5Csum_i%20(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20q_i%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dq_i%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_i%7D%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cdot%20q_i)%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20%2B%20%5Csum_i%20(%5Cdot%20p_i%5Cmathrm%7Bd%7Dq_i%2Bp_i%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cdot%20q_i)%0A%5Cend%7Baligned%7D$

聯(lián)立兩式，注意到? $p_i%20%5Cmathrm%20d%20%5Cdot%20q_i$ 項(xiàng)被消去，得

$%5Cmathrm%20%20d%20H%3D%5Csum_i(%5Cdot%7Bq%7D_%7Bi%7D%5Cmathrm%20d%20p_%7Bi%7D-%5Cdot%7Bp%7D_%7Bi%7D%20%5Cmathrm%20d%20q_%7Bi%7D)-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%5Cmathrm%20d%20t$

上式正是以 p,q,t 為獨(dú)立變量得到的H的全微分，由此我們得到哈密頓正則方程：

$%5Cdot%7Bq%7D_%7Bi%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20p_%7Bi%7D%7D%2C%20%5C%3B%5C%3B%20%5Cdot%7Bp%7D_%7Bi%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20q_%7Bi%7D%7D$

此外，如果考慮 H 對時間的微分，

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%20H%7D%7B%5Cmathrm%20d%20t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%2B%5Csum_i(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20q_%7Bi%7D%7D%20%5Cdot%7Bq%7D_%7Bi%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20p_%7Bi%7D%7D%20%5Cdot%7Bp%7D_%7Bi%7D)$

把前面的正則方程代入，恰好消去后兩項(xiàng)，可得

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%20H%7D%7B%5Cmathrm%20d%20t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20t%7D$

由此看出，如果哈密頓量不顯含時間，則它是守恒量。事實(shí)上，哈密頓量就是系統(tǒng)的廣義能量，它不顯含時間意味著系統(tǒng)受到穩(wěn)定約束，約束反力不做功。

哈密頓正則方程的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)很有意思?？梢钥吹?，僅從數(shù)學(xué)上看坐標(biāo)與動量的地位是高度對稱的，這也意味著從數(shù)學(xué)的角度我們并不能區(qū)分坐標(biāo)與動量。

2 哈密頓原理

哈密頓原理，也被稱作最小作用量原理。費(fèi)曼教授在他的三部物理學(xué)講義中鮮有提及分析力學(xué)的內(nèi)容，但唯獨(dú)用了一章專門介紹了這個最小作用量原理——這顯然是一個讓過去年輕的他感到相當(dāng)印象深刻的理論。

作用量的定義是系統(tǒng)的拉格朗日量對某段時間的積分：

$S%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20L(q%2C%5Cdot%20q%2Ct)%5Cmathrm%20d%20t$

哈密頓原理表示其變分為0：

$%5Cdelta%20S%20%3D%200$

通過展開 S 的變分可以推回拉格朗日方程，筆者在本文集前面的筆記提過了。

此外，作用量存在另一種包含廣義動量的形式。前面的文章里面我們以及操作過一次變分了，

$%5Cdelta%20S%20%3D%20%5Cdelta%5Cint%20L(q%2C%5Cdot%20q%20%2C%20t)%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20%3D%20%5Csum_i%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_i%7D%5Cdelta%20q_i%7C_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%2B%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%20(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20q_i%7D-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_i%7D)%5Cdelta%20q_i%5Cmathrm%7Bd%7Dt$

當(dāng)時，我們令? $%5Cdelta%20q(t_1)%3D%5Cdelta%20q(t_2)%3D0$ ?而推出第二項(xiàng)為0. 而這一次我們選擇把 t2 看作任意時間，看第一項(xiàng)易得

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20q_i%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_i%7D%20%3D%20p_i$

又，根據(jù)定義， $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20S%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20t%7D%20%3DL$

由此聯(lián)系又可以推出哈密頓-雅可比方程

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20S%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20%2BH%3D0$

此外，聯(lián)系哈密頓量和作用量的定義，可以得到另一種形式的作用量

$S%3D%5Cint%20(-H%5Cmathrm%20d%20t%2B%5Csum_i%20p_i%20%5Cmathrm%7Bd%7D%20%5Cdot%20q_i)$

3 泊松括號

泊松括號似乎是某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。設(shè)存在廣義坐標(biāo)、動量、時間的函數(shù) $f(p%2Cq%2Ct)$ ，它對時間的微分：

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%20f%7D%7B%5Cmathrm%20d%20t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%2B%5Csum_i(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20q_%7Bi%7D%7D%20%5Cdot%7Bq%7D_%7Bi%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20p_%7Bi%7D%7D%20%5Cdot%7Bp%7D_%7Bi%7D)$

把正則方程代入，并把求和里面的東西定義為泊松括號：

$%5Bf%2Cg%5D%3D%5Csum_i(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20q_i%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20p_i%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20p_i%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20q_i%7D%20%20%20)$

則可以得到

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%20f%7D%7B%5Cmathrm%20d%20t%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%2B%5Bf%2CH%5D$

據(jù)說，量子力學(xué)里面常常遇到的對易子，起源和這個泊松括號有些關(guān)系。

泊松定理是說，如果已知系統(tǒng)的兩個積分

$%5Cphi(p%2Cq%2Ct)%3DC_1%2C%5C%3B%5C%3B%5Cpsi(p%2Cq%2Ct)%3DC_2$

則

$%5B%5Cphi%2C%5Cpsi%5D%3DC_3$

也是系統(tǒng)的一個積分。（雖然，到目前為止筆者未能看到這有什么用）

4 正則變換

正則變換本質(zhì)上是一種坐標(biāo)變換。不過變換的不再是空間坐標(biāo)，而是廣義坐標(biāo)和廣義動量。

我們希望將本來的廣義坐標(biāo)與動量 q,p 變換為一組新的坐標(biāo) Q,P:

$Q_i%20%3D%20Q_i(p%2Cq%2Ct)%2C%5C%3BP_i%20%3D%20P_i(p%2Cq%2Ct)$

同時希望這個變換下正則方程保持不變：

$%5Cdot%20Q_i%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H'%7D%7B%5Cpartial%20P_i%7D%2C%5C%3B%20%5Cdot%20P_i%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20H'%7D%7B%5Cpartial%20Q_i%7D$

前文寫過包含廣義動量的作用量表達(dá)式，所以系統(tǒng)滿足

$%5Cdelta%20S%3D%5Cdelta%20%5Cint%5Cleft(p_%7Bi%7D%5Cmathrm%20%20d%20q_%7Bi%7D-H%20%5Cmathrm%20d%20t%5Cright)%3D0$

同理對于變換后，

$%5Cdelta%20%5Cint%5Cleft(P_%7Bi%7D%5Cmathrm%20%20d%20Q_%7Bi%7D-H'%20%5Cmathrm%20d%20t%5Cright)%3D0$

兩個變分相等，意味著它們的被積函數(shù)應(yīng)當(dāng)僅相差一個系統(tǒng)狀態(tài)決定的任意函數(shù)的全微分dF.?(因?yàn)檫@一項(xiàng)積分得到的是 F(末態(tài))-F(初態(tài))，它的變分為0.)

$p_%7Bi%7D%5Cmathrm%20%20d%20q_%7Bi%7D-H%20%5Cmathrm%20d%20t%3DP_%7Bi%7D%20%5Cmathrm%20d%20Q_%7Bi%7D-H%5E%7B%5Cprime%7D%5Cmathrm%20%20d%20t%2B%5Cmathrm%20d%20F$

這里 F 稱為生成函數(shù)，或母函數(shù)。移項(xiàng)不難得到 F 的全微分，從而得到：

$p_%7Bi%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20F%7D%7B%5Cpartial%20q_%7Bi%7D%7D%2C%20%5Cquad%20P_%7Bi%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20F%7D%7B%5Cpartial%20Q_%7Bi%7D%7D%2C%20H%5E%7B%5Cprime%7D%3DH%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20F%7D%7B%5Cpartial%20t%7D$

這里如果母函數(shù)恰好是 q,Q 的函數(shù)，上面就已經(jīng)是正則變換的表達(dá)式了。

母函數(shù)還可能是：F(q, P, t), F(Q, p, t), F(p, P, t) (一定是一個新變量和一個舊變量的函數(shù))

以 F(q,P,t) 為例，只需構(gòu)造

$%5CPhi(q%2CP%2Ct)%3DF%2B%5Csum_i%20P_iQ_i$

接下來類似分部積分的原理，可以得到

$p_%7Bi%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5CPhi%7D%7B%5Cpartial%20q_%7Bi%7D%7D%20.%20%5Cquad%20Q_%7Bi%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5CPhi%7D%7B%5Cpartial%20p_%7Bi%7D%7D%20.%20%5Cquad%20H%5E%7B%5Cprime%7D%3DH%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5CPhi%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%20.$