本筆記只記錄從第二章開始的知識點(diǎn)，方便復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)鞏固，不作商業(yè)使用，希望對你有點(diǎn)幫助，啦啦啦啦。

這里說明一個(gè)基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)方法，考試=模擬理論+ 模擬實(shí)踐 ，筆記和考試只是記錄了理論的知識點(diǎn)，習(xí)題也只是 模擬 現(xiàn)實(shí)而提出的題目，但肯定不可能完全遵循理論和現(xiàn)實(shí)，所以，在學(xué)習(xí)中，筆記習(xí)題的部分一定要完善，按照最基本的定義最好是有自己的理解 去擴(kuò)展，然后在 模型題 上建立好 模擬實(shí)踐 的 框架， 想要深刻的學(xué)習(xí)一們理論，是一定要聯(lián)系真正的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)的。 所以，思想實(shí)驗(yàn)也是基于現(xiàn)實(shí)的規(guī)律想象出來的。 所以，當(dāng)你有什么難以理解的東西，你就想想看，現(xiàn)實(shí)是怎樣的呢？ 讓知識變得合理，也就容易理解，也就自然記住了。這才是 符合 “道" 的學(xué)習(xí)。

基本在學(xué)習(xí)和運(yùn)算中，用解析法，實(shí)際生產(chǎn)中，用灰盒子，也就是實(shí)驗(yàn)法。

實(shí)驗(yàn)法如下圖

線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式

我所認(rèn)為的：

線性：不過就是1+1，乘法也不過是多個(gè)1+1的結(jié)合。微積分也是如此，凡是最終為 1+1得來的，都是線性，只是有多個(gè)對應(yīng)輸出的區(qū)別。確切的說，是能夠在變量和定值上一 一對應(yīng)的才能是線性，但變量只能對應(yīng)變量，定值只能對應(yīng)定值，而只有變量對應(yīng)變量才能稱為是線性，因?yàn)榫褪歉鶕?jù)變量之間的關(guān)系定義線性的定義。

這里補(bǔ)充說明吧，乘法是由多個(gè)1+1而來，而除法就是乘法的逆運(yùn)算。積分也是類似1+1,微分就是積分的逆運(yùn)算。所以都是線性的。

實(shí)際上呢？x+2x=5? x是不是定值呢？

x+y=5,也不是線性。當(dāng)一個(gè)值確定了，另外一個(gè)值也確定了，兩者還會是變量嗎?

仔細(xì)想想，“=”,這個(gè)象征著等同的，甚至對稱的底層規(guī)律，是不是很神奇呢？像不像杠桿，像不像能量守恒，像不像天平呢？有沒有想到著名的E=MC~2呢？哈哈，不多說了。

系統(tǒng)也既是變量對應(yīng)變量。

人們用數(shù)學(xué)的工具去描述這個(gè)系統(tǒng)的一般形式。也即是叫 線性定常系統(tǒng)的 微分方程 的 一般形式。

當(dāng)然，一個(gè)不是線性的變量組合去組成一個(gè)線性系統(tǒng)，這也不符合邏輯。

老師所講的：

線性：系統(tǒng)滿足疊加原理的就是線性系統(tǒng)。

而當(dāng)具備輸出變量在“=”號的左邊，也就是輸出變量在同一邊，輸入變量在另外一邊的時(shí)候，輸出變量滿足階導(dǎo)數(shù)與輸入變量階導(dǎo)數(shù)一致的一般形式時(shí)，此時(shí)必為線性系統(tǒng)。

但不要因此認(rèn)為，一般形式就是用來判斷是否是線性系統(tǒng)。

為什么這一定線性呢？因?yàn)槊總€(gè)階導(dǎo)的輸出對應(yīng)一個(gè)每一個(gè)階導(dǎo)的輸入，你可以簡單的理解為，ax(t)~n=by(t)~n,然后多個(gè)項(xiàng)相加，畢竟，從系統(tǒng)層面去理解，就是一個(gè)輸入對應(yīng)一個(gè)輸出。

定常：就是輸入變量和輸出變量前的系數(shù)，且要都為常數(shù)才能成為定常。如果有至少一個(gè)隨時(shí)間變化，那么稱這個(gè)為時(shí)變系統(tǒng)。

舉例說明判斷是什么系統(tǒng)。

非線性，因?yàn)闆]有辦法一 一 對應(yīng)變量，出現(xiàn)了非線性項(xiàng)，比如同一變量和同一變量的階導(dǎo)相乘，不同變量與不同變量相乘，還有不同變量和不同變量階導(dǎo)相乘，還有常數(shù)項(xiàng)，常數(shù)怎么能對應(yīng)變量呢？常數(shù)只能對應(yīng)定值啊。

定常的，因?yàn)橄禂?shù)都跟時(shí)間沒有關(guān)系。

那么，c(t)*r(t)是線性項(xiàng)嗎？不是的。雖然默認(rèn)c(t),r(t）都是線性的，但XY不是線性的。

線性時(shí)變系統(tǒng)：其實(shí)線性項(xiàng)只跟變量本身有關(guān)，與變量前的系數(shù)是無關(guān)的，這就是很多人矛盾的一點(diǎn)。而時(shí)不時(shí)變卻只跟變量前的系數(shù)有關(guān)。所以，其實(shí)是默認(rèn)C(t)這個(gè)變量是線性的，而非線性項(xiàng)是由這個(gè)默認(rèn)的線性變量構(gòu)成的沒法1+1的非線性。線性的變量做線性運(yùn)算還是線性的。

非線性時(shí)變的。

非線性：變量的平方能夠 1+1 疊加得到嗎？不能，所以非線性變量。

時(shí)變：出現(xiàn)系數(shù)為時(shí)間t的量。

舉例，RLC串聯(lián)電路

C為輸出，R為輸入。

按階導(dǎo)的最高次數(shù)排列，輸出為輸出一邊，輸入為輸入一邊，在”="兩邊分開，遵循輸出的階導(dǎo)最高次的系數(shù)為1，這就是首1標(biāo)準(zhǔn)型的標(biāo)準(zhǔn)擺列，下面會說。

例2 基本的計(jì)算問題，關(guān)鍵在于 力的來源只有一個(gè)，所以，相互之間的作用力就是相同的，這主要還是在于沒有摩擦損耗，最終力又變成了一堆其他的能量。

例3

也就寫好那個(gè)圖整理好邏輯就行啦。因?yàn)楣P記是針對我個(gè)人的訓(xùn)練，所以我懂的就不多說了，至于推導(dǎo)，這個(gè)例題并不重要，因?yàn)橛貌坏健?/p>

階導(dǎo)階導(dǎo)，就是有幾個(gè)導(dǎo)就是有幾階啦。

例4 還是不重要，聽懂就行。

重點(diǎn)：結(jié)構(gòu)圖描述數(shù)學(xué)模型，邏輯結(jié)構(gòu)圖

例5 不了解泰勒級數(shù)可以自己查，我也忘得差不多，但是一直以來，非線性變線性通常就是按照 做差求增量，但是這個(gè)增量要很小，那取值就得很小，然后用很小的增量用 微積分的方法來代替，也就是dy ,dx。

重點(diǎn)中的重點(diǎn)，微分方程的求解方法。

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

模：模是從原點(diǎn)0到復(fù)函數(shù)的終點(diǎn)作矢量的模長。

相角：根據(jù)上訴模所作的矢量，逆時(shí)針轉(zhuǎn)與X軸所圍成的角度叫相角。

復(fù)數(shù)共軛：實(shí)部一樣，虛部成相對負(fù)數(shù)，所以在軸上呈現(xiàn) 與X軸對稱。

解析:忘記了，等下查

接下來是重點(diǎn)中的重點(diǎn)：建議不懂的用科學(xué)上網(wǎng)查谷歌。

1~1/s

e`-a ~1/s+a

有沒有發(fā)現(xiàn)什么?拉氏變換本質(zhì)是乘上衰減因子然后積分，如果是1是變?yōu)樽畹紫聻镾，如果是跟衰減因子類似的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)然只改變底下的 s，變?yōu)?s+a.以此類推，正弦函數(shù)也可以變?yōu)楦鷱?fù)數(shù)有關(guān)的指數(shù)函數(shù)，自然也就有了后面的變化。所以有些根本不需要詳細(xì)計(jì)算了。

sin wt ~ w/(s`2+w`2)

拉氏變換的幾個(gè)重要定理

1.線性性質(zhì)：為了線性系統(tǒng)服務(wù)，自然也得同時(shí)滿足線性性質(zhì)

2.微分定理： 微分也是線性的，這里也是在對轉(zhuǎn)化過程中對求導(dǎo)后如何拉氏變換做服務(wù)。

用微分定理求解

單位脈沖是為了理論自洽，讓人理解的產(chǎn)物，現(xiàn)實(shí)不一定能夠求證。

這里精彩的部分 在于用微分定理求解 余弦的拉氏變換。

3.積分定理: 也是線性，為了變量積分后作拉氏變換作服務(wù)。

這里有個(gè)聯(lián)想，te`xt和e`(x`2)t是否存在什么聯(lián)系呢？

4.實(shí)位移定理：還是線性，輸入變量在作線性的變換，系統(tǒng)的輸出還是要遵循線性。

線性變量還是要等于線性變量，不信反變換一下試試，是不是還是線性的？

5.復(fù)位移定理：這里就是時(shí)變了，不是基于線性，是基于系數(shù)上的時(shí)變。

6.初值定理

解決 在原像未知，像已知情況下，求解原像的初始值。這跟前面的線性相關(guān)聯(lián)。為求系統(tǒng)響應(yīng)的初始值時(shí)服務(wù)。

本質(zhì)：代入拉普拉斯變換的公式

7.終值定理

解決 在原相未知，相已知的情況下，求解原相確實(shí)存在的終值，這是需要考察的。用來服務(wù)計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。還是跟之前的線性關(guān)聯(lián)，也就是微分定理。

本質(zhì)：其實(shí)，看看拉普拉斯變換的公式就能知道答案了，t趨于無窮，s趨于零。這個(gè)很有趣，需要手寫一下。

用拉氏變換方法求解微分方程

課程小結(jié)

重點(diǎn)記憶

上節(jié)課回顧

拉普拉斯反變換，這也是重點(diǎn)。

(1)反演公式

（2）查表法（常用的方法）

例題

計(jì)算就是基本功啊，自己拿紙算就行，我不對很明顯的連過程都有的進(jìn)行解說。

有的人會疑問，什么會有通解，特解呢，其實(shí)就是因?yàn)檫@是個(gè) 變量“=”變量 的方程。

這里開始使用 前面 重點(diǎn)中的重點(diǎn) 所謂的 方法論 也就是 微分方程 轉(zhuǎn)為 代數(shù)方程

微分方程 和 代數(shù)方程 的關(guān)系

其實(shí)，這個(gè)微分方程在 固定 形式的時(shí)候，就已經(jīng)注定 解 只 跟 e~x 有關(guān)了。

只是呢，如果一方 為定值，一方就近似等于 e~x=定值，所以，最終 就只為 x的解。

為什么注定 只跟 e~x有關(guān)呢？

神秘的“=”已經(jīng)告訴我們兩者性質(zhì)是相同的了。

而導(dǎo)數(shù)中，唯獨(dú)只有 e~x 求導(dǎo) 還是 e~x。

所以你不妨想象把，一個(gè)不斷變換的量，兩者性質(zhì)不同能夠相等嗎？

而且，“=”已經(jīng)注定了它的第一性，是第一個(gè)要遵從的法則。

所以，這個(gè)微分方程為什么能夠與 代數(shù)方程相同呢？人家代數(shù)方程 可是研究 變量 和 定值 "="的。就是因?yàn)椋呀?jīng)注定了 是類似e~x的解。你可以自己把 e~x帶入，創(chuàng)造一個(gè)方程就會明白了，我不想浪費(fèi)時(shí)間。

這里比較有意思的是 特征根，也就是 極點(diǎn) 的意義，這才是學(xué)習(xí)真正該學(xué)習(xí)的東西，而不是什么計(jì)算，無聊透頂。極點(diǎn)的意義以后再講吧，要考慮下時(shí)機(jī)。

還有啊，這些都是我自己領(lǐng)悟的，如果你不信，那就帶著懷疑的態(tài)度吧，這才是真正學(xué)習(xí)需要的東西。

模態(tài)：振型

老師說的:一個(gè)系統(tǒng)確定后，它的閉環(huán)極點(diǎn)也就是特征根也就確定了，那么這個(gè)系統(tǒng)對應(yīng)的模態(tài)也就確定了。

為什么這么說呢？ 還是變量=變量，系統(tǒng)的公式一旦確定，解的值就不變，所以閉環(huán)極點(diǎn)自然不變，模態(tài)不就是類似e~x的解？

這里還有留數(shù)方法解題，也就是教你怎么從看似一個(gè)乘法 的分?jǐn)?shù) 變?yōu)?分?jǐn)?shù)的 加減，方便知道分子，從而方便你 逆變換。

A(S)單獨(dú)拿出來就是 一個(gè)方程，因?yàn)檫@個(gè)方程是統(tǒng)一變量的多個(gè)階，所以呢，也就會有多個(gè)解。那句無重根的意思我就不多說了。

可是為什么 F(S)的 分子 會是 一個(gè)常數(shù)呢?

因?yàn)樯舷路肿拥淖兞肯嗤?，直接約掉了，且N>M.所以到最后，只有A(S)分母會有變量的根。

不用過多去學(xué)這種計(jì)算的術(shù)，要去思考公式本身背后的意義，代表的是什么。

計(jì)算以后不行就用計(jì)算機(jī)了，還用人嗎？

這里有意思的是第二個(gè)公式，它建立在 求導(dǎo)的本質(zhì)上出發(fā)。

那么，留數(shù)定理的本質(zhì)是什么呢？只要理解了留數(shù)定理的本質(zhì)，兩個(gè)公式自然都懂了。

維基百科寫的太垃圾了，目前我也不清楚，改天查查把。算了，自己推把。

本質(zhì)：回到F(S)=一串的解，一串分子分母的和。你想想看，你需要怎么求到C1吧，你想想看，這是一個(gè)函數(shù)和變量的方程式，當(dāng)你的變量s=p1的時(shí)候，F(xiàn)(S=P1)=巴拉巴拉,是不是求出分子的值呢？不信自己查和求證哈，我沒時(shí)間。

所以呢？為什么會要第一個(gè)公式取極限呢？因?yàn)闊o窮接近就是等于那個(gè)值啊，這就是數(shù)學(xué)。

所以呢?為什么第二個(gè)方程要求導(dǎo)呢？不就還是剛講的嗎，只是可以理解為第一個(gè)公式的變化。

這里不會復(fù)根就自己查，有公式會告訴你情況，我也懶得記。

忘記公式轉(zhuǎn)換的看我筆記之前的部分。

解法二算是有點(diǎn)意思吧，我也懶得多說。

這里用得就是前面講得第二個(gè)公式。

這里要注意的是，這里一直討論的是多重根，就是多個(gè)解完全相同的情況。

這里還要多說嗎，還是近似無窮極限就等于取值啊，很多人都懂。

這里就要思考，我怎樣才能接下來得到各個(gè)常數(shù)的值呢？還是不要忘記，雖然它變?yōu)榇鷶?shù)方程，但本質(zhì)還是 變量=變量，而且解也一直都是 類似 e~x, 所以，老規(guī)矩，求導(dǎo)。

這里需要注意的是二重根要寫成兩個(gè)，為什么呢？因?yàn)榉肿雍凶兞縎。不妨想象，C都是常數(shù)，如何使分子具有變量S呢,就需要組合。這方面有沒有 什么講究的呢，目前也不知道怎么查，但 可以簡單的認(rèn)為是 （X+C）/X~2=（C/X~2）+C/X ,兩者其實(shí)沒什么不同對吧，可是看起來就容易多了。

這里還是要注意的還是C1，因?yàn)榇藭r(shí)還是為多重根的解，且分母的階數(shù)是相對遞減的，就要用到上訴講的求多重根的解。

如果忘記了就看看下圖，是乘上最高階的分母，所以次一階就會多一個(gè)（s-p）項(xiàng)，要靠求導(dǎo)消去。

例6算是有點(diǎn)意思了，畢竟是為數(shù)不多的結(jié)合其他課的例題。

這里，有點(diǎn)用到所謂的函數(shù)一 一 對應(yīng)的關(guān)系，其實(shí)可以簡單認(rèn)為就是 常數(shù)不變，關(guān)于時(shí)間t的變量進(jìn)行拉氏變換的對應(yīng)，不懂就查表。

這里需要注意的是，i其實(shí)是等于C與關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)后的UC的，所以，UC上應(yīng)該要有一點(diǎn)。

這里用到了上面講的微分定理，要注意的是，UR和UC都是隨時(shí)間變化的量（交流電）。如果你實(shí)在找不到資料，那么請用尊敬的“=”。當(dāng)UR已知是隨時(shí)間變化的量，那么，等號的另一邊，必須也是隨時(shí)間變化的量，畢竟，當(dāng)一方?jīng)Q定是變量的時(shí)候，你也要維護(hù)這個(gè)關(guān)系，且這個(gè)等號目前的關(guān)系不再是前面提到的決定式，而是將兩者聯(lián)系起來的關(guān)系式。所以，此時(shí)要明白，關(guān)系式就得維護(hù)關(guān)系的平衡。

留數(shù)定理，注意C0,C1都是由第一個(gè)分式來的。

零狀態(tài)響應(yīng)（由輸入造成的，但此時(shí)電容元件零狀態(tài)，也就是沒有內(nèi)部存儲能量，跟能量守恒有關(guān)系，電容元件和電感統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)（儲能）元件）和零輸入響應(yīng)（由電容元件造成的，就是說此時(shí)電容內(nèi)部有存儲能量，但此時(shí)系統(tǒng)沒有輸入。）實(shí)在不懂啊，就當(dāng)作要弄個(gè)能量守恒的公式，一個(gè)總能量，用控制變量法得到其中一個(gè)，再用控制變量法得到另一個(gè)。

什么瞬態(tài)分量，穩(wěn)態(tài)分量，不懂就用自己的話理解，瞬態(tài)=變量，穩(wěn)態(tài)=常量。

其實(shí)為什么，最終可以拆分為瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)呢？

其實(shí)就是一個(gè)取值的問題，看下圖。

目前有點(diǎn)靈感，但是不多，不想多說了。

3條線都交于一點(diǎn)。

其實(shí)，如果用電路的知識去推，我說過我懶得學(xué)習(xí)，所以知道的有限，但是還是可以得到一些東西，其實(shí)用電路的東西去推，C0是肯定為E0的。C0和C1的式子就是零狀態(tài)響應(yīng)。C1肯定也就為-E0.所以結(jié)合起來不用計(jì)算。這是其中一個(gè)靈感。C0早就被UR決定了。

所以，有時(shí)候不得不驚嘆數(shù)學(xué)的神秘之處，竟然將現(xiàn)實(shí)完美的融合在一起。

所以，微分定理為什么要減去UC(0)呢？不懂不妨看看移到等號的另一邊。其實(shí)，電路也告訴我們答案了。不再多說，點(diǎn)到為止。

所以，即使你不會大學(xué)電路，你可以用控制變量的思想去寫東西嗎？

我想，基于思想，也能夠得到最終想得到的UC的關(guān)系式。只要你懂得，將零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)變?yōu)樽约嚎梢岳斫獾臇|西。

所以，我們是不是可以去思考，拉氏變換是不是有什么本質(zhì)呢？

本質(zhì)上呢，還是老生常談，這是一個(gè)類似E~X的解的方程式，（變量=變量，且變量中的等號另一邊有同一變量的求導(dǎo)）所以到底是什么神奇的魔力，讓X前多了RC這個(gè)常數(shù)項(xiàng)呢？

這個(gè)還需要思考，目前也沒時(shí)間查，就放在這里吧。等某些事情結(jié)束后我再過來重新寫。我的打算是15號之前寫完。沒那么簡單，要從本質(zhì)上思考，可能電路的知識得回去補(bǔ)補(bǔ)。

這里回看，想到一個(gè)有趣的話題，E=MC~2,有的人就說，能量就等同于質(zhì)量，我笑了，只能說可以轉(zhuǎn)化吧。西方科學(xué)?很厲害嗎？嘿嘿。我已經(jīng)預(yù)想到未來的事了，可惜，又是一個(gè)不斷被嗶嗶賴賴的旅途。但，我其實(shí)早已無所謂。

零初始條件，可以理解為T<0時(shí)，等號兩邊都為0。

其實(shí)，這里前兩項(xiàng)都可以無所謂的，畢竟都可以改變，通常最重要的是最后一項(xiàng)?？墒亲陨硖匦源硎裁茨?？你能肯定自身特性的關(guān)鍵因素嗎？繼續(xù)往下看吧。

重點(diǎn)：傳遞函數(shù)的定義：在t<0,等號兩邊都為0的情況下，傳遞函數(shù) ＝ 線性的定常系統(tǒng) 的 輸出 除以 輸入，但此時(shí)輸入和輸出都為拉氏變換對應(yīng)的結(jié)果。

線性：只有變量對應(yīng)變量才能稱為是線性，因?yàn)榫褪歉鶕?jù)變量之間的關(guān)系定義線性的定義。線性就是變量的個(gè)體組成可以通過1+1獲得，變量=變量中的“=”是關(guān)系式。線性只跟變量與變量的組成有關(guān)，與變量前的系數(shù)無關(guān)，且默認(rèn)單個(gè)輸入變量和輸出變量都是線性的。

定常：就是輸入變量和輸出變量前的系數(shù)，且要都為常數(shù)才能成為定常。如果有至少一個(gè)隨時(shí)間變化，那么稱這個(gè)為時(shí)變系統(tǒng)。

首1標(biāo)準(zhǔn)型：最高次項(xiàng)的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)都化為1.

尾1標(biāo)準(zhǔn)型：最低次項(xiàng)的分子分母的常數(shù)系數(shù)都化為1.

要去思考，為什么要化為1？

首1標(biāo)準(zhǔn)型就是 除了最高項(xiàng)化為1，后面的一串都可以理解為 x~n+bx~n-1+....a，多次項(xiàng)的有多少次冪逐級遞減，就有多少個(gè)解。比如：x~2+kx+1=(x-a)(x-b)。以此類推。

這里首1標(biāo)準(zhǔn)型所用的是解的方法來整合公式，所以，它的解也就對應(yīng)了 極點(diǎn)和零點(diǎn)。

這是基于實(shí)際的應(yīng)用上這么做，所以，要去思考什么時(shí)候用首1，什么時(shí)候用尾1，然后逆向去推出標(biāo)準(zhǔn)型的公式。

尾1標(biāo)準(zhǔn)型

尾1標(biāo)準(zhǔn)型的關(guān)鍵在于，它并不用求解來整合公式，它是用總結(jié)的方法來整合公式的。

目前對它的實(shí)際應(yīng)用還沒學(xué)，就先放著，到時(shí)候反推。

例題答案

傳遞函數(shù)的性質(zhì)，其實(shí)這是十分重要的，對后面的學(xué)習(xí)貫通有幫助，我雖然還沒學(xué)，但是我知道它有用，性質(zhì)就是我認(rèn)為它有用的原因。

第4個(gè)性質(zhì)十分有趣且重要，結(jié)合了其他課的知識，它說，系統(tǒng)的傳遞函數(shù) = 系統(tǒng)輸入一個(gè)單位脈沖做輸入的L變換，也就是系統(tǒng)函數(shù)。這也是為什么傳遞函數(shù)又叫系統(tǒng)函數(shù)。

第5 就是跟首1相關(guān)。

例題

（2）這里的增益是傳遞函數(shù)的增益，無關(guān)首1尾1.

（3）特征根是對傳遞函數(shù)而言的。

（4）零極點(diǎn)就根據(jù)特征根而來。

（5）系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)等于傳遞函數(shù)反變換

(6)微分方程對就是 輸入變量函數(shù)= 輸出變量函數(shù)，傳遞函數(shù)=輸出 除以 輸入 。注意反變換。

（7）微分定理。每微分多一次就要多減一個(gè)項(xiàng)。

自由響應(yīng)的定義

傳遞函數(shù)的局限性

例題

右下角的公式計(jì)算十分重要。在信號與系統(tǒng)，數(shù)字信號處理也有。

總結(jié)一句話，非線性和時(shí)變沒法L變換。

小結(jié)

例題 不重要

系統(tǒng)增益或者叫傳遞系數(shù)，這都沒有具體的講解，查不到，我看看再推吧。

方框圖

看了實(shí)際沒實(shí)驗(yàn)實(shí)踐還是不會，浪費(fèi)時(shí)間。

典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

聯(lián)系實(shí)際去考慮問題

方法論

常用控制元件的傳遞函數(shù)

方法論

例題 看看就行，做題會才是關(guān)鍵。該會的都已經(jīng)寫好。

思路就是先寫出聯(lián)系，

再帶入公式。

例題

重點(diǎn)，結(jié)構(gòu)圖等效變換 不行看書

思路就是 = 。 前后兩者輸出要相等。

可以取一個(gè)點(diǎn)參考。

例題 可以用來理解

簡單的方法，一個(gè)有回饋的循環(huán)先弄成一塊。分而治之。先完成小的，再完成大的。

有趣。出現(xiàn)分支點(diǎn)（或比較點(diǎn)）在循環(huán)內(nèi)的情況。此時(shí)就要移動(dòng)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)，讓它們出現(xiàn)在循環(huán)外（反饋）。

例題

例題

信號流程圖 與 結(jié)構(gòu)圖 對應(yīng)

自動(dòng)控制原理用結(jié)構(gòu)圖

信號流程圖在 信號與系統(tǒng)等課中使用

信號流圖：

源節(jié)點(diǎn)即是一切節(jié)點(diǎn)的源頭 只有出

阱節(jié)點(diǎn)即是流向歸一的節(jié)點(diǎn) 只有入

前向通路：從源節(jié)點(diǎn)走到阱節(jié)點(diǎn)

回路：從節(jié)點(diǎn)出發(fā)再返回到節(jié)點(diǎn)本身的路

互不接觸回路：沒有公共節(jié)點(diǎn)的回路

結(jié)構(gòu)圖：

多路進(jìn)，一路出，對應(yīng)比較點(diǎn)

一路進(jìn)，兩路出，對應(yīng)引出點(diǎn)。

信號流程圖和結(jié)構(gòu)圖的轉(zhuǎn)化

節(jié)點(diǎn)本身的值 對應(yīng) 結(jié)構(gòu)圖引出點(diǎn)的輸出值

重點(diǎn)中的重點(diǎn) 梅森公式

例題 這種類型的題，看沒用，直接做才有用

因?yàn)樗疾斓氖?讀圖+運(yùn)用公式的 能力

實(shí)際十分簡單，看多無用，做就能會

重點(diǎn)還是前面的基礎(chǔ)，讀圖

例題

例題

例題

例題

控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1.開環(huán)傳遞函數(shù)

定義：還是針對閉環(huán)系統(tǒng)，只是將系統(tǒng)的反饋回路的增益項(xiàng)（傳遞函數(shù)）乘上前向通路的 傳遞函數(shù) 。也就是叫 G(s)H(s)，這里的G(s)=G1(s)*G2(s)（也就是前向通路的傳遞函數(shù)）

第一個(gè)閉環(huán)傳遞函數(shù)是 輸出和輸入的傳遞函數(shù)

第二個(gè)閉環(huán)傳遞函數(shù)是 誤差跟輸入的傳遞函數(shù)

又因?yàn)樵趯?shí)際中，干擾項(xiàng)是無法精確測量的，所以誤差其實(shí)就是 為了描述 干擾 而關(guān)系上的。

分母是特征式，就是說只與系統(tǒng)本身的回路結(jié)構(gòu)有關(guān)，不與輸入輸出位置有關(guān)。

這里說明一下，加法是1維的運(yùn)算，乘法是2維的加法運(yùn)算，積分是3維的加法運(yùn)算。3維的運(yùn)算可以用于2維，以此類推。

所以，分子分母是怎樣的呢？二者之間的關(guān)系是在兩個(gè)對象構(gòu)成的總量上和所求對象上的劃分。

因?yàn)槎S具有兩個(gè)對象，所以分子為總量，分母為兩個(gè)對象中的一個(gè)。

所以，所謂的除法不過就是逆運(yùn)算。

居于這種簡單的數(shù)學(xué)思維，你能明白，為什么分母不變了嗎？因?yàn)橄到y(tǒng)對象本身沒有變化。

兩個(gè)不同的傳遞函數(shù)，分子對象的選取發(fā)生了變化，也就是總量發(fā)生變化，但因?yàn)檫€在系統(tǒng)中，系統(tǒng)對象沒有變化。兩個(gè)傳遞函數(shù)中構(gòu)成總量的系統(tǒng)對象完全相同，且這個(gè)系統(tǒng)對象自身的關(guān)系決定了分母。如果從純數(shù)學(xué)的角度上可以理解為什么對象相同嗎？

閉環(huán)傳遞函數(shù)=C(S)/R(S) 這個(gè)函數(shù)對象一直沒變。

B(S)=C(S)*H(S)

E(S)=R(S)-B(S)

E(S)/R(S)=[R(S)-B(S)]/R(S)

=1-C(S)*H(S)/R(S)

=1-H(S)*[C(S)/R(S)]

=1-H(S)*[閉環(huán)傳遞函數(shù)]

簡單來說，就是選取點(diǎn)雖然不同，但都跟C(S),R(S)有關(guān)。確切的說是，E(S)一直跟C(S)關(guān)聯(lián)，且這種關(guān)聯(lián)“=”是一種線性運(yùn)算（+-,*/），所以分母不變。

所以，這個(gè)時(shí)候怎么理解那句話呢？又怎么理解我們研究的是 線性定常系統(tǒng)了嗎？

分母是特征式，就是說只與系統(tǒng)本身的回路結(jié)構(gòu)有關(guān)，不與輸入輸出位置有關(guān)。

所以，系統(tǒng)本身的回路結(jié)構(gòu)不變時(shí)，傳遞函數(shù)就不變了，傳遞函數(shù)不變，類似函數(shù)思想中的 F就不變了，F(xiàn)不變，基于F的線性運(yùn)算，也不會改變分母。F(X)中的F。

為什么這里我屢次提到函數(shù)思想呢？因?yàn)楹瘮?shù)思想的那張圖也像個(gè)黑匣子，可惜找不到了。

y 指向 f 指向 x. 可惜，現(xiàn)在用的都是兩個(gè)集合映射的圖。

黑匣子在前面提到過，在實(shí)際的工程運(yùn)用中就是用這中方法研究自動(dòng)控制系統(tǒng)。

其實(shí)這里也根本不用計(jì)算，基本看一眼就知道了，上面已經(jīng)說了分母是因?yàn)槭裁床蛔兊模F(xiàn)在只要看分子，一個(gè)閉環(huán)傳遞函數(shù)，就是N(S)到C(s)的G2(S).

第二個(gè)函數(shù)也是如此啦，N(S)到E(S),

-G2(S)*H(S).

后面兩個(gè)誤差，一個(gè)就是 干擾對輸出的誤差，

一個(gè)是干擾對輸入的誤差。(也就是求凈誤差E(S))

第一個(gè)：

輸出是等于G1(S)*G2(S)*R(S),

誤差到輸出就等于 N(S)*G2(S).

第二個(gè)：

輸入是等于 R(S).

誤差到凈輸入等于 -G2(S)*H(S)*N(S).

例題

書上寫得和這個(gè)定義和概念，簡直就是把人弄成傻子一樣。

總輸出總是讓人想到是 只有輸入和輸出的關(guān)系，總誤差總是讓人 想到的是 將誤差加起來。

所以，以后求總誤差就只記 誤差對輸出的影響，求總誤差就只記 凈輸入（也就是誤差對輸入的影響）

斷斷續(xù)續(xù)的寫到現(xiàn)在，已經(jīng)沒時(shí)間了，接下來就直接不寫廢話了，更多有趣的數(shù)學(xué) ，我將寫一本書 叫《數(shù)之本源》,就是這么狂的名字。感興趣就看看，不感興趣也無所謂。

確切的說，K是前向通道的輸出和輸入的系數(shù)比，所以只看常數(shù)部分，也只看開環(huán)傳遞函數(shù)。

看上面說的吧，分子就是什么到什么的環(huán)節(jié)部分，分母就是整體的回路結(jié)構(gòu)。所以，還是看一眼就看出來了。

唯一比較重要的是第（3）個(gè)小題

將輸入輸出方程的拉氏變換轉(zhuǎn)成微分方程求解,目的是寫齊次方程，寫出齊次方程后就要代入微分定理求解。

當(dāng)“="另一端為0，解就為特定的常數(shù)項(xiàng)，那么=0代表什么呢？

這個(gè)問題可以說很多啊，以后再說吧。

其實(shí)，就是因?yàn)檫@是變量，所以呢，可以取0為其中一個(gè)值.

但如果這里要理解的話，就是零輸入響應(yīng)唄。

你看，是不是輸入=0？

給你們一點(diǎn)靈感，一個(gè)天平，保持平衡，可是兩邊的重量都不清楚，所以要拿下一邊，去測量另一邊。

為什么這里可以直接 輸入-輸出呢？

如果用我所說的 凈輸入 就自然理解了

干擾最終也是要從輸出端輸出的，然后反饋回跟輸入比較，所以，這里直接 凈輸入 就對了。

還是重點(diǎn)中的重點(diǎn)。方法論

接下來的鋪墊和要研究學(xué)習(xí)的方向

方向，也是需要注意的

基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)吧，所以是重點(diǎn)中的重點(diǎn)

這些概念就是 實(shí)際需求而產(chǎn)生的，所以超級重要，記不住就背下來吧。我的建議是，做題中理解，代入后多了自然理解。

不行，看下面的有圖解說，老師的講解

講解

一階系統(tǒng)

這方面沒有電路或者模電的基礎(chǔ)，是沒法深刻理解的。慣性環(huán)節(jié)，這個(gè)名字有點(diǎn)意思?？纯捶答仯ｋ姷暮蛻T性的定義。

時(shí)間常數(shù)，這個(gè)名字也十分有趣，有趣到什么程度呢？有趣到電路中的RC和R/L 也叫時(shí)間常數(shù)

目前知道的不多，也沒時(shí)間求證，沒法得到答案，就先放著，以后這種現(xiàn)象我 只打 先放著 這3個(gè)字。

不妨看看吧，最后的式子，這個(gè)所謂的時(shí)間常數(shù)，又跑到 e~t上了，真有意思啊。所以，什么叫時(shí)間常數(shù)呢？哈哈，這不是嘛

先放著

這里提到了尾1標(biāo)準(zhǔn)型，有意思，尾1標(biāo)準(zhǔn)型又稱為 時(shí)間常數(shù)式

目前對它的了解 就是 時(shí)間常數(shù) 。

看看這個(gè)圖吧，通常就取3T的時(shí)間常數(shù)代入，就得到了一個(gè)符合調(diào)節(jié)時(shí)間的-5%的值。

這是很重要的，后面的計(jì)算中基本要用。

例題 這里要思考的是，如何改變調(diào)節(jié)時(shí)間且放大系數(shù)不變。

所以，要去思考，決定調(diào)節(jié)時(shí)間的因素和決定放大倍數(shù)的因素有哪些

我們都知道，放大倍數(shù)的系數(shù)是 由尾1標(biāo)準(zhǔn)型決定的，尾1要求，分子分母的常數(shù)項(xiàng)為1。什么能夠影響這個(gè)1呢？分子是幾乎都會受到影響的，只要有環(huán)節(jié)加入都會。分母卻幾乎不受影響，上訴已經(jīng)講過分母幾乎不變，那分母的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)除非 回路結(jié)構(gòu)改變才會變化。

那調(diào)節(jié)時(shí)間呢？回到調(diào)節(jié)時(shí)間的定義去思考。+-5%的誤差就是啦。

簡單來說，調(diào)節(jié)時(shí)間越小，就代表穩(wěn)定的速度越快，也就是系統(tǒng)響應(yīng)快速收斂。

調(diào)節(jié)時(shí)間的代入是代入到時(shí)間常數(shù)上的，這也決定了要用尾1標(biāo)準(zhǔn)型，因?yàn)樘岬竭^，尾1就是時(shí)間常數(shù)式。

這跟RC這些時(shí)間常數(shù)也不謀而合。

怎樣的環(huán)節(jié)可以幫助我們做到呢？

這里加入了負(fù)反饋，最終使式子變?yōu)橐粋€(gè)分母常數(shù)項(xiàng)系數(shù)變化的慣性環(huán)節(jié)，還是慣性。

解析解也稱為 公式解 我覺得挺通俗易懂的。

雖然 輸出的拉普拉斯變換一開始都是 尾1標(biāo)準(zhǔn)型，但是輸出因?yàn)橐蠢绽梗赃€是得用前面得留數(shù)定理+對應(yīng)的式子的代入

這里講的都是不同輸入下的 慣性環(huán)節(jié) 對應(yīng)的 輸出。

可以看出，慣性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)響應(yīng)本身是 一個(gè)衰減的 響應(yīng)。

隨著輸入信號的變化，最終還是傾向于衰減即收斂。

且每次輸入信號的變化，都會影響E~T的系數(shù)，但從來沒有影響過時(shí)間常數(shù)。

所以反推，輸入是不會影響回路結(jié)構(gòu)的，也就是代表它不會影響系統(tǒng)本身的性質(zhì)，至少慣性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是這樣的。

這里一個(gè)非常有趣且重要的話，輸入的積分，代入系統(tǒng)，等于在源輸出的基礎(chǔ)上做積分。

微分同理。

為啥呢？因?yàn)樯厦嬷v過。輸入不影響系統(tǒng)。

積分，微分，本質(zhì)上還是線性計(jì)算，

一個(gè)不影響系統(tǒng)的輸入，做一個(gè)積分，在一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)中，當(dāng)然是 得到一個(gè) 積分后的輸出。不懂自己去多思考，這已經(jīng)是答案了。

其實(shí)，你沒發(fā)現(xiàn)嗎，輸出=輸入+衰減的部分。

衰減的部分的大小跟輸入的大小有關(guān)，畢竟它屬于輸出的一部分。衰減部分從系統(tǒng)本身性質(zhì)出發(fā)，也就是單位沖激下的系統(tǒng)函數(shù)，隨著輸入積分而積分，隨著輸入求導(dǎo)而求導(dǎo)。

這也是一種方向，二者都是對的。

這里有的人會疑惑第3個(gè)式子，為什么還要-T。

基于我所說的，沒有考慮到減去時(shí)間常數(shù)啊。

這個(gè)很有趣，以后再說。

所以，一個(gè)正常的系統(tǒng)，那個(gè)穩(wěn)態(tài)值，是不是早就決定了呢？

響應(yīng)就是輸出，單位階躍就是輸入。

系統(tǒng)函數(shù)就是傳遞函數(shù)在單位沖激的輸入下的響應(yīng)。

再想不到就想老師剛教啥，就要用啥唄。

G(S)是開環(huán)傳遞函數(shù)，所以要在源閉環(huán)傳遞函數(shù)上做圖，然后開環(huán)只取前向通道。

也可以直接加入一個(gè)反饋先假設(shè)出閉環(huán)和開環(huán)的基礎(chǔ)關(guān)系式，然后求出開環(huán)。

a/(s+a)=(a/s)/(1+s/a) ，所以，G(S)=a/s.

現(xiàn)在這個(gè)系統(tǒng)是 個(gè)振蕩環(huán)節(jié)系統(tǒng)，所以又要新的討論。也就是上面那些套路全用一遍，說實(shí)話我真懶得寫了。

這里比較疑惑是因?yàn)檫@是 G(S）開環(huán)函數(shù)，而不是閉環(huán)，所以開環(huán)函數(shù)的 K 是啥呢？

這里懶得寫，抄百度，自己看吧。

因?yàn)槭菃挝回?fù)反饋，故反饋通道傳函為 H(s)=1 ，故系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s)=ωn^2/s(s+2ωnζ) 。 化為標(biāo)準(zhǔn)形 式的開環(huán)傳函 為 G(s)H(s)=(ωn/2ζ) / s(s/2ωnζ+1) ，分 子 ωn/2ζ 即 為系統(tǒng)的開 環(huán)增益，記為 K=ωn/2ζ 。

因?yàn)?，開環(huán)不存在反饋，所以，也就沒有常數(shù)項(xiàng)，但還是要尾1，尾1后就為開環(huán)增益。

這里的 無阻尼自然頻率 和 阻尼比，是我以前想解決的問題，現(xiàn)在看看能不能自己寫出定義吧，沒錯(cuò)，我就是來寫書的，這里只是試試水。但我對寫這種書沒興趣，我只想寫數(shù)學(xué)物理。

阻尼比是描述系統(tǒng)的振蕩多快可以衰減。這里竟然扯到了無量綱量，真有意思，其實(shí)無量綱量是接近真理的存在的，哈哈，以后有趣研究一下，這里不再多說。就好比要去證明 1+1=2.

無阻尼：描述一種幾乎沒有導(dǎo)致摩擦因素影響的理想振蕩條件，一種理想狀態(tài)

自然頻率：就是自然共振的頻率。（這邊是有點(diǎn)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，無所謂了，保持懷疑吧）

想象一個(gè)鐘擺，受到一種頻率的影響，自行擺動(dòng)，在理想無摩擦的狀態(tài)下，一直保持震蕩的現(xiàn)象。

這里就把阻尼當(dāng)影響振蕩的摩擦就行了，但寫書的人寫得不嚴(yán)謹(jǐn)和貼切。

0阻尼，就是0摩擦無阻尼，保持理想振蕩狀態(tài)。

欠就是 欠摩擦，此時(shí)摩擦是有的，就是太小了，以至于會衰減的振蕩。

臨界，就是振蕩直接衰減到 系統(tǒng)的極限的收斂值（穩(wěn)定值），無振蕩，摩擦更大。

過阻尼，摩擦超級大， 振蕩都沒法達(dá)到 系統(tǒng)穩(wěn)定的收斂值.

設(shè)想一個(gè)本身就是不斷振蕩的理想系統(tǒng)，0阻尼，就會使它保持自身理想的振蕩狀態(tài)，欠阻尼，就會使它衰減振蕩到不再保持振蕩。臨界阻尼，就會使它保持在臨界值，過阻尼，就會使。。。

臨界阻尼和過阻尼的單位階躍響應(yīng)是單調(diào)上升的，所以不用算超調(diào)量，只要算調(diào)節(jié)時(shí)間，甚至對于過阻尼，只要算調(diào)節(jié)時(shí)間，它能接近穩(wěn)態(tài)值的95%就謝天謝地了。

這里研究系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)性能都是以輸入單位階躍響應(yīng)為主。

接下來討論的都是 臨界和過阻尼。

這里聰明的避免寫多的小技巧我也喜歡用。

這里用 兩個(gè)時(shí)間T來代替根，有點(diǎn)深意。

用求根公式求解兩個(gè)根。

這里可以說是我見過的最好的推導(dǎo)了，直觀的將 阻尼比 跟 兩個(gè)解 進(jìn)行函數(shù)上的聯(lián)系。

認(rèn)真看公式，ts/T2=(T1/T2)*(ts/T1)

(T1/T2)一旦確定，T1確定，T2也確定。

應(yīng)該說，是因?yàn)門1，T2先確定，才決定了它確定，因?yàn)檫@兩個(gè)是解來的，解除了回路（系統(tǒng)）結(jié)構(gòu)不變是不會變得。

所以，最后的函數(shù)關(guān)系式就是 時(shí)間常數(shù)決定了，將 ts 代入 t 中，罷了，它只是想 把 阻尼比 和 調(diào)節(jié)時(shí)間ts 聯(lián)系在一起。

確切的說 是 將 f1和f2 聯(lián)系在一起。

看看能不能 f1 和 f2 之間 建立線性計(jì)算上的連接。

就好比兩個(gè)分母相同，分子不同的分式，分子上用+-*/互相得到另一方。

這里的兩個(gè)解還是 為 -1/T1 和-1/T2

這里的圖 就是f2的關(guān)系圖

例題

超調(diào)量和峰值時(shí)間，不用算，人家過阻尼來的。

這個(gè)圖就是 ts/t1 跟 t1/t2 的關(guān)系圖，所以從x軸的點(diǎn)對應(yīng) 找y,然后代入公式，因?yàn)榇藭r(shí)只 知道 ts/t1,所以還要乘已知的 t1,才為 ts。

分母一個(gè)除 0.9，一個(gè)除0.1。又是為了尾1，而且是想拆開成兩個(gè)環(huán)節(jié)。

說了這么多，大家對于尾1是干嘛的肯定沒問題了，但為什么必定是尾1的形式呢？

這里涉及到一點(diǎn)多級放大的思想，也就是模電，理論講很簡單，好像可以直接串哦，可是現(xiàn)實(shí)還是要考慮耦合的。

不懂可以去看上面的筆記，取3T，因?yàn)榇藭r(shí)已經(jīng)拆分成一個(gè)一階系統(tǒng)了。

這里這句話已經(jīng)說出了本質(zhì)，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，時(shí)間常數(shù)越小，響應(yīng)越快，時(shí)間常數(shù)越小，調(diào)節(jié)時(shí)間越小。

所以，能不能從時(shí)間常數(shù)和解的關(guān)系，作為一種思路推導(dǎo)出 尾1標(biāo)準(zhǔn)型呢？ 我想這也是一種正確思路，也是兩種標(biāo)準(zhǔn)型的關(guān)系。

答案其實(shí)早就有了，就是S前的系數(shù)且尾部為1的時(shí)候才是真正的時(shí)間常數(shù)，其實(shí)逆變換也間接告訴我們了。確切的說，-1/T，就已經(jīng)告訴我們了。尾部是1，除去T ，作為解加-，就是解。解的逆變換，在E~t上的時(shí)間常數(shù)值也告訴我們了。

所以，我前面就說過了，要基于創(chuàng)造這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的目的去思考它的源頭，畢竟不可能完全無中生有。

所以呢？本質(zhì)上我們想要改變調(diào)節(jié)時(shí)間，要怎么做呢？要改變分母，就得改變回路結(jié)構(gòu)，分母改變，解就改變，時(shí)間常數(shù)也就改變。時(shí)間常數(shù)改變，調(diào)節(jié)時(shí)間就改變。

為什么會有主導(dǎo)極點(diǎn)的說法呢？本質(zhì)不是已經(jīng)說明了嗎？因?yàn)殡x原點(diǎn)越遠(yuǎn)，對應(yīng)的時(shí)間常數(shù)越小，所以響應(yīng)越快，對于一個(gè)衰減的系統(tǒng)收斂越快，輸出作為下一個(gè)的輸入，又影響了下一級的輸入，一個(gè)收斂極快的輸入，好比直接代入理想的收斂值了，所以它是做不到主導(dǎo)的作用的，它甚至可以當(dāng)作一個(gè)階躍脈沖，所以，這就好像跑步比賽，跑得慢得總是拖后腿一樣，最終成績往往短板的影響大。

總結(jié)：調(diào)節(jié)時(shí)間主要由 主導(dǎo)極點(diǎn)影響，主導(dǎo)極點(diǎn)是離實(shí)軸原點(diǎn)越近的點(diǎn)。

寫到這里，已經(jīng)是沒時(shí)間了，所以，不寫了，以后再寫吧。