????在現(xiàn)實中，設想A同時與B、C打斗，相比B、C對A進行車輪戰(zhàn)，A想要獲勝顯然是更難的，那么為什么呢？

????最簡單的解釋就是，因為B、C同時進攻，他們在每個時間單位內(nèi)對A造成的傷害是車輪戰(zhàn)情況下的兩倍，他們的戰(zhàn)力更強。

????那么，戰(zhàn)力又是什么呢？這是一個很籠統(tǒng)的說法，我們在此沒有必要糾結(jié)它到底是什么，因為本文的主題是英雄聯(lián)盟（LOL），因此我們用“全殲”敵方后勝方的剩余人數(shù)來描述戰(zhàn)力，無論是小兵還是英雄之間。

????接著，為了簡化這個問題，我們只考慮每個人的攻擊力（在每個時間單位內(nèi)對某個敵方目標造成的血量損失）和血量，并記作攻擊力-血量，如1-3就是指攻擊力為1，血量為3的一個作戰(zhàn)單位（類似一些卡牌游戲的記法）。

????并且，我們在此先假設每個人的攻擊力-血量數(shù)值完全相同，并且雙方同時攻擊，同時結(jié)算。

????對于開頭所說的情景，我們假設它們均為1-2。

同時（的戰(zhàn)斗過程/情況）：

1-2????1-2 1-2

1-0????1-1 1-2

車輪戰(zhàn)：

1-2????1-2|1-2

1-0????1-0|1-2

（當然，這里的時間指的并不是離散的，或者說按回合的，比如兩個人的對戰(zhàn)中完全有一個瞬間可以是1-3.5????1-1.5）

????結(jié)果當然不出意料，那么接下來我們由淺入深地去深究其中的原因。

整體

????最簡單的一種思考方式，就是將一方所有人的數(shù)據(jù)相加，看作一個整體來進行分析。

????比如對于a個m-n和b個m-n，我們將它們看作am-an和bm-bn之間的對戰(zhàn)。

????當然，這種簡化的問題也是顯而易見的，因為人數(shù)減損之后，整體的攻擊力顯然會下降。

????

????不過，我們還是暫且先去這么思考。

????我們假設a>b，那么勝方顯然是a方，且獲勝的時間等同于b方血量耗盡的時間，那么

????當然，還需對其向下取整才是具體的人數(shù)；不過，這也只是對實際情況的一種簡化，我們可以認為剩余人數(shù)大概在這個值左右。

????比如，2對3，敵方大概剩余5/3≈1.67人，5對3，我方大概剩余16/5=3.2人。

????同時，我們可以注意到

????也就是說，按照這種整體的思想，a對b(a>b)，a方會損失b^2/a^2的血量。

????比如2對3，敵方會損失4/9的血量，5對3，我方會損失9/25的血量。

連續(xù)

????接下來，我們就把“人數(shù)減損之后，整體的攻擊力會下降”這一點考慮進去。

????在上面的簡化中，雙方整體的攻擊力是始終不變的，都是人數(shù)乘以個體的攻擊力，但現(xiàn)在攻擊力與生命值掛鉤，生命值又和對方的攻擊力掛鉤。

????那么，我們以時間t為基準，設雙方人數(shù)關(guān)于時間的函數(shù)各自為

且

由簡單的“高數(shù)”知識可以得到

兩式相除得到

而我們要求的是y(t1)=0時，x(t1)的值，也就是a方的剩余人數(shù)，對兩邊積分得到

????那么5對3，我方大概會剩余4人，顯然大于前面的3.2人。

????也就是說，當b<<a的時候，二者是相近的；不難理解，因為此時b方的攻擊力相比a方的血量太小了，它的變化可以忽略不計，同時b方的攻擊力對a方的血量造成的損失也可以忽略不計，因此a方的攻擊力也幾乎沒有變化。

攻擊力的離散化

????在第一種方法中，我們忽略了攻擊力的變化，在第二種方法中，我們認為攻擊力的變化的連續(xù)的，但實際上，攻擊力的變化是離散的。

????不難理解，在英雄聯(lián)盟中，我殘血和我滿血時的“攻擊力”實際上可以近似認為是完全一樣的。

????我們來看下面這個例子。

例1：

1-4 1-4 1-4 1-4????1-4 1-4（經(jīng)過1個單位時間）

1-2?1-4 1-4 1-4????1-0 1-4（經(jīng)過1個單位時間）

1-1?1-4 1-4 1-4? ? 1-0 1-0

（不難理解，至少在每個人的攻擊力-血量數(shù)值完全相同的情況下，集火顯然是最優(yōu)策略，因為這是使對面攻擊力下降得最快的策略）

????左邊的剩余血量為13，但按照第一種方法，4-16????2-8，血量為為16-8/4*2=12；第二種方法則為4*sqrt(16-4)≈13.86。

????不難理解，13>12是因為右邊減員了，攻擊力下降，對左邊造成的傷害減少，而第一種方法并沒有考慮這一點；13<13.86是因為在這兩段1個單位時間中，右邊的攻擊力總是為2和1，并沒有按第二種方法的假設每時每刻都按比例減少，同時左邊的攻擊力變化相比之下并不大，因此右邊對左邊造成的總傷害會變高。

????換句話說，就是對于am-an和bm-bn，雙方每受到n傷害就會損失m攻擊力。

????因此，對于這種方法，我們需要比較雙方到達各自n倍數(shù)傷害的時間點來考慮，其中的計算時比較復雜的；并且我的數(shù)學知識也比較貧瘠，再加上我沒有那么多時間，對于這種情形，就當作拋磚引玉了。

例2：

1-4 1-4?1-4?1-4? ? 1-4?1-4 1-4（經(jīng)過1個單位時間）

1-1 1-4 1-4 1-4????1-0 1-4 1-4（經(jīng)過1/2個單位時間）

1-0 1-4 1-4 1-4????1-0 1-2 1-4（經(jīng)過2/3個單位時間）

1-0 1-8/3 1-4 1-4????1-0 1-0 1-4（經(jīng)過4/3個單位時間）

1-0 1-4/3 1-4 1-4????1-0 1-0 1-0

時間的離散化

? ? 可以看到，攻擊力的離散化使解決問題的過程中會出現(xiàn)許多繁瑣的分數(shù)形式，并且其中可能會出現(xiàn)一些過于小的時間量，它們也是不符實際的，因此，我們嘗試再加上時間的離散化，也就是按回合（1個單位時間）來計算。

????那么例2就變?yōu)?br>

例2'：

1-4 1-4?1-4?1-4? ? 1-4?1-4 1-4

1-1 1-4 1-4 1-4????1-0 1-4 1-4

1-0 1-3 1-4 1-4????1-0 1-0 1-4

1-0 1-2?1-4 1-4????1-0 1-0 1-1

1-0 1-1 1-4 1-4????1-0 1-0 1-0

傷害溢出

????在前文中，我之所以假設個人數(shù)據(jù)為1-4，是因為1能夠整除4，如果是2-3，那么對他的最后一擊，攻擊者會有1點傷害是溢出的；當然，你也可以假設這一點傷害可以延續(xù)到下一個人來簡化問題，但考慮溢出顯然是更符合實際的。

????如果不考慮溢出

例3：

2-3?2-3?2-3? ? 2-3?2-3

2-0 2-2 2-3????2-0 2-0

????如果考慮溢出

例3'：

2-3?2-3?2-3??? 2-3?2-3

2-0 2-3 2-3????2-0 2-1

2-0 2-1 2-3????2-0 2-0

策略相關(guān)

????我們在前文中提到過一個策略，也就是集火，它在我目前的假設下顯然是雙方的最優(yōu)策略；但實際情況下，集火往往也會存在額外的溢出，比如可以是一次攻擊，甚至極端一點，所有人都必須攻擊這個單位，它就不再是最優(yōu)策略了。

????我們也可以隨便想到許多簡單的策略，比如隨機攻擊，優(yōu)先不產(chǎn)生溢出的隨機攻擊等等；

????如果再去除“每個人的攻擊力-血量數(shù)值完全相同”這個假設，策略就更豐富了，也會隨之產(chǎn)生許多博弈。

????比如對于沒有額外溢出的集火而言，

????集火低血的單位可以快速減少敵方的攻擊力，也可以減慢我方的血量和攻擊力損耗等等；

????而集火高攻高血的單位需要花費多個回合，即便這個行為對此后回合的收益是更大的；

????…………

????對于這些策略的選擇，我們就需要去權(quán)衡利弊了，并且它們在不同的具體情況中互有勝負，很難存在一個通用的最優(yōu)策略。

例4：

1.（雙方都優(yōu)先使對方減員）

2-1 3-5????1-1 3-6

2-0 3-2????1-0 3-3

2-0 3-0????1-0 3-0（平局）

2.（1調(diào)整為左邊優(yōu)先集火強力單位）

2-1 3-5????1-1 3-6

2-0 3-2????1-1 3-1

2-0 3-0????1-1 3-0（右勝）

3.（1調(diào)整為右邊優(yōu)先集火強力單位）

2-1 3-5????1-1 3-6

2-1 3-1????1-0 3-3

2-1?3-0????1-0 3-0（左勝）

4.（雙方都優(yōu)先集火強力單位）

2-1 3-5????1-1 3-6

2-1?3-1????1-1 3-1

2-0 3-0????1-0 3-0（平局）

????不難理解，基于這種情況，雙方最理性的選擇都是優(yōu)先減員，因此結(jié)果也“注定”是平局，也因此不這么思考的人在作出選擇時會很吃虧。

????當然，我舉的這個例子過于簡單了，對于更復雜的情況下，存在無窮無盡的策略，更不用說引入先后手了。

????可以發(fā)現(xiàn)，比如假設我們可以精確地控制每一個棋子等等，基于這個相對簡單的問題，再加上各種各樣的“機制”去增加其復雜程度，那么就逐漸發(fā)展為了一些我們所熟知的卡牌游戲、棋類游戲等等，它們在本質(zhì)上當然也是“數(shù)字游戲”。

????關(guān)于博弈和游戲等等的更詳細的內(nèi)容可見我的專欄：

????純純干貨！

????當然，即便有些脫離，但本文的內(nèi)容還是基于我對英雄聯(lián)盟這款游戲的一些思考延伸而出的（可能會更適合RTS游戲，雖然我完全沒有玩過這類游戲），同時我覺得本文中的一些思維在英雄聯(lián)盟的各種地方也都是通用的。

????之后，我還會制作一些英雄聯(lián)盟中機制相關(guān)的一些內(nèi)容，敬請期待！