不少初中、高中的同學(xué)都遇到過(guò)三次、四次方程如何求解的問(wèn)題，以及為何一般的五次方程不能求根式解的問(wèn)題；許多大學(xué)的同學(xué)也探尋過(guò)一般的五次和更高次的方程不能根式解的證明。我們今天將對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)，進(jìn)行一個(gè)條理性的梳理；我將要給出定性的敘述，而略過(guò)繁復(fù)的證明。讀這篇文章，由于讀者的水平參差不齊，需要用的方法是“只讀自己能夠懂的部分”。

第一個(gè)問(wèn)題：一般的五次方程為什么不能求根式解？小讀者們看不懂伽羅瓦理論，是否有其他方法來(lái)敘述？

不少人回答這個(gè)問(wèn)題，一上來(lái)就是把伽羅瓦理論中的五次置換群S5正規(guī)子群的性質(zhì)拿出來(lái)，導(dǎo)致讀者一頭霧水。這樣的回答，雖然是理論上正確的，但卻忽視了人正常理解問(wèn)題的邏輯。因此，才會(huì)有那么多人尋求五次方程問(wèn)題更加“初等”的敘述。

這里要定性地闡述這樣兩個(gè)事實(shí)：

一、所有敘述上更為“初等”的證明法，都不可能繞過(guò)置換群的性質(zhì)來(lái)開(kāi)展；事實(shí)上這些方法是把置換群換成了別的對(duì)象，置換群的性質(zhì)換成了與其同構(gòu)的其他對(duì)象的性質(zhì)。

二、一般五次方程之所以沒(méi)有根式解，最直接的原因是它系數(shù)的有理域（系數(shù)域）不能夠通過(guò)一步一步開(kāi)根號(hào)（根式擴(kuò)域），最終得到根的有理域（根域）；而這種根式擴(kuò)域不能達(dá)到根域的原因，根本上看是因?yàn)榍昂髢蓚€(gè)域自同構(gòu)群的性質(zhì)，即擴(kuò)域前后兩個(gè)域?qū)?yīng)的伽羅瓦群的性質(zhì)，進(jìn)而歸因于原方程伽羅瓦群的性質(zhì)。最一般的五次方程，其伽羅瓦群是置換群S5.

（二）的敘述需要一些概念的補(bǔ)充。對(duì)于中學(xué)同學(xué)來(lái)說(shuō)，有理域是個(gè)重要的概念：由一些可由代數(shù)運(yùn)算得到有理數(shù)的無(wú)理數(shù)，各自乘上一個(gè)不同的有理數(shù)作為系數(shù)，再加上一個(gè)有理數(shù)；這樣的一個(gè)代數(shù)形式，如果對(duì)四則運(yùn)算封閉，則構(gòu)成一個(gè)域，稱作這些無(wú)理數(shù)的有理域，其中的無(wú)理數(shù)則是有理域的基。把以上的“無(wú)理數(shù)”換做不定變?cè)ɡ绶匠痰南禂?shù)），域的概念仍然成立，但是這些變?cè)ㄒ驗(yàn)榛蛟S是有理的）就未必是域作為線性空間的基。而域自同構(gòu)群，則是任意交換域的基底之后仍得到域自身的變換，所構(gòu)成的集合（可證明是群）。沒(méi)有域的概念（以及域是有限維線性空間）和域自同構(gòu)群的概念，看懂伽羅瓦理論是寸步難行的。

群和域都是比較抽象的對(duì)象，一般人不容易理解。數(shù)學(xué)功底好的人可以從域作為有限維線性空間和置換群作為有限群的“有限性”上看到“枚舉”的解決方法；而伽羅瓦理論的證明，確實(shí)涉及了兩個(gè)有限性：甲、對(duì)方程的根施行的所有置換，無(wú)論你改變成什么形式（三角函數(shù)也好橢圓函數(shù)也好），必然同構(gòu)于置換群中的一個(gè)；乙、置換群是有限的，因此它的子群列是數(shù)目有限的，正規(guī)子群當(dāng)然更加有限。

從不是那么抽象的角度切入，例如使用“預(yù)解式”這一古典的思路來(lái)看，“擴(kuò)域”是對(duì)于龐大的預(yù)解式方程進(jìn)行的分組分次序求解。至于根式擴(kuò)域不能從系數(shù)域達(dá)到根域的原因，直觀上看是因?yàn)閷?duì)任意構(gòu)造的預(yù)解式方程進(jìn)行分解降次的時(shí)候，其中某些步不能夠得到簡(jiǎn)單的開(kāi)方方程，而得到的預(yù)解式方程卻沒(méi)有有理根；之所以中間步驟不能得到簡(jiǎn)單的開(kāi)方方程，則是因?yàn)槟硟蓚€(gè)群之間不存在（循環(huán)群形式的）商群，進(jìn)而這會(huì)涉及正規(guī)子群的性質(zhì)。這一段，則是從具體求解的方法來(lái)說(shuō)的。

第二個(gè)問(wèn)題：什么樣的五次方程，乃至什么樣的更高次方程，其具備根式解？我們又應(yīng)當(dāng)怎么樣來(lái)求這個(gè)根式解？

定性地回答：其方程的伽羅瓦群是可解群的，或者說(shuō)具備可遞降到平凡群（或言恒等變換）的正規(guī)子群列的方程（至少一種遞降法的各階商群需要是循環(huán)群），具備根式解。其根式解的求法，與你所設(shè)計(jì)的遞降的正規(guī)子群列（可能存在不止一種遞降法）有關(guān)。

這里就延伸出三個(gè)小問(wèn)題：如何判斷方程的伽羅瓦群？以及判斷方程的伽羅瓦群是不是可解群？如果是，則如何構(gòu)造遞降的正規(guī)子群列？

判斷方程的伽羅瓦群，實(shí)際上是個(gè)不太容易的事情。一般抽象代數(shù)的課本上給出的例子，是使用西羅定理判斷一個(gè)一元五次方程的伽羅瓦群是S5；但這個(gè)其實(shí)不是通法：用類似的方法能夠判斷一部分方程的伽羅瓦群，但每次都需要做一些（貌似神來(lái)之筆的）構(gòu)造，此外也不能適用于所有情況。一般而言，判斷方程的伽羅瓦群，需要窮盡其根的所有有理關(guān)系，例如各根之間的線性關(guān)系等等。筆者認(rèn)為比較合適的方法，則是使用各種可能的方程伽羅瓦群的特征不變量（即用根的代數(shù)形式構(gòu)造，對(duì)所有該伽羅瓦群的變換保持不變，卻對(duì)任一不屬于該伽羅瓦群的n次置換群的變換改變的代數(shù)式）來(lái)判別。這個(gè)判別法只涉及枚舉群和判斷構(gòu)造出不變量滿足的方程是否有有理根。[注：特征不變量和軌道（orbit）的概念有聯(lián)系，但也有區(qū)別]。

目前，存在一些名聲不廣的專業(yè)軟件，可以用一定的方法，判斷出方程的伽羅瓦群；從給出的例子上來(lái)看，其用法既不是課本上的西羅定理，也不是特征不變量的形式計(jì)算。它應(yīng)該是用群的某些變換，以數(shù)值形式的根代入變換的某個(gè)形式不變量中，考察該函數(shù)數(shù)值的有理性來(lái)判別的[似乎是STAUDUHAR’S METHOD]。純用根與系數(shù)關(guān)系的代數(shù)運(yùn)算來(lái)枚舉特征不變量的方式，會(huì)存在一個(gè)問(wèn)題在于計(jì)算量太大：特征不變量的次數(shù)等于伽羅瓦群的階數(shù)，這個(gè)階數(shù)>=n小于等于n!，可見(jiàn)是一個(gè)很大的數(shù)。

判斷方程的伽羅瓦群是不是可解群，以及對(duì)于是可解群的情況該如何構(gòu)造遞降，這兩個(gè)問(wèn)題可以用一種方法解決，該法就是交換子群法。如給定一個(gè)方程的伽羅瓦群（要寫(xiě)成根的置換的形式），設(shè)其中的任意兩個(gè)變換是x,y，則xyx^(-1)y^(-1)就是其交換子（注意這很容易計(jì)算），此交換子構(gòu)成一個(gè)群即交換子群；不停地計(jì)算交換子群的交換子群，則要么該群不變，要么遞降到1：如果進(jìn)行到某一步后不變，則說(shuō)明不是可解群；如遞降到1，則給出一種正規(guī)子群列，此時(shí)要檢查商群。

得到正規(guī)子群列后，即可按照它的指導(dǎo)來(lái)求解。這個(gè)過(guò)程是復(fù)雜的：要構(gòu)造各個(gè)群的不變量，然后計(jì)算滿足的方程，在下一個(gè)方程的系數(shù)中會(huì)依次加入上一個(gè)方程的根；由此逐步求解，直到得到根的一次式（線性組合），即可求出根本身。如果使用各階拉格朗日預(yù)解式，形式上容易理解，但計(jì)算會(huì)比較繁雜。

第三個(gè)問(wèn)題：對(duì)于不能根式求解的五次方程/高次方程，是否能用一些特殊函數(shù)引入一兩個(gè)數(shù)值以后，把它轉(zhuǎn)化到根式可解的方程上？或者更進(jìn)一步，是否能用一些特殊函數(shù)來(lái)求解這些方程？乃至再進(jìn)一步，是否可以存在一些特殊函數(shù)，原方程當(dāng)不可根式解的時(shí)候以不能消除的特殊函數(shù)解存在，而當(dāng)原方程可以根式解的時(shí)候，以根式解存在呢？

對(duì)這些問(wèn)題的回答，其實(shí)都是肯定的，但實(shí)際過(guò)程則極其復(fù)雜。

對(duì)于第一和第二小問(wèn)，它們的實(shí)質(zhì)其實(shí)是一樣的。如果能夠用一個(gè)特殊函數(shù)引入一些數(shù)值，將本身不能根式解的方程聯(lián)系到根式可解的方程，則一定能用這個(gè)特殊函數(shù)的某種對(duì)稱式來(lái)表達(dá)原方程的根。以非常簡(jiǎn)單的語(yǔ)句來(lái)說(shuō)明：因?yàn)楸旧聿荒芨浇獾姆匠?，其預(yù)解式方程在遞降的過(guò)程中某個(gè)方程將不是開(kāi)方方程，“用特殊函數(shù)聯(lián)系到根式可解的方程”實(shí)質(zhì)上是把這個(gè)不是開(kāi)方方程的方程賦予一個(gè)特殊函數(shù)解；因此該特殊函數(shù)的某種對(duì)稱式必然符合“不是開(kāi)方方程”的方程的所對(duì)應(yīng)的變換，但這些變換不構(gòu)成群而是陪集，于是可推知該特殊函數(shù)的某種對(duì)稱式一定符合包含這些變換的“上一個(gè)”（也是最能刻畫(huà)方程對(duì)稱性的）群；因此就可以在有限步的代數(shù)變換后，構(gòu)造出原方程的根。

對(duì)于第三小問(wèn)，我們可以考慮高斯超幾何函數(shù)。目前已經(jīng)有高斯超幾何函數(shù)形式的五次方程的解。而高斯超幾何函數(shù)根據(jù)其中參數(shù)不同，又可以具體變成根式、指數(shù)函數(shù)等等許多函數(shù)；事實(shí)上高斯超幾何函數(shù)是一類微分方程的解的總體形式。因此，我們可以相信在一些變換以后，可以用含有一些特定參數(shù)的超幾何函數(shù)表達(dá)五次方程的根，而該特定參數(shù)與原方程的系數(shù)有關(guān)，并能在原方程的群是可解群的條件下=0或者某些常數(shù)，從而把這個(gè)函數(shù)等同于超幾何函數(shù)表達(dá)的根式。當(dāng)然，也可能存在其他類型的符合條件的函數(shù)。這個(gè)方向也是可以往下研究的。

第四個(gè)問(wèn)題：用特殊函數(shù)表達(dá)高次方程解的必要條件是什么？應(yīng)該從哪個(gè)方向向下研究？

過(guò)去有一種錯(cuò)誤觀點(diǎn)，認(rèn)為用特殊函數(shù)表達(dá)高次方程解的關(guān)鍵在于存在有理的加法公式從而推導(dǎo)出與高次方程次數(shù)相同的倍元方程，這個(gè)觀點(diǎn)的謬誤之處在于忽視了方程的對(duì)稱性與特殊函數(shù)對(duì)稱性的聯(lián)系，誤以為次數(shù)是唯一的聯(lián)系。

用特殊函數(shù)表達(dá)高次方程解的關(guān)鍵，實(shí)際上在于能否用該函數(shù)構(gòu)造出符合代數(shù)方程伽羅瓦群（或其某個(gè)正規(guī)子群）的對(duì)稱式。以下是幾個(gè)例子：

先觀三角函數(shù)的倍角方程（例如五倍角方程）：Cos(5a)=q，左邊展開(kāi)后是一個(gè)關(guān)于cos(a)的五次多項(xiàng)式，其只含五次三次和一次項(xiàng)，并且還有特殊關(guān)系作用于三次項(xiàng)和一次項(xiàng)。其五個(gè)根是xn=cos(a+2n*pi/5)，可以看到五個(gè)根都在角增加2pi/5的變換下相互改變；而每次增加2pi/5，相當(dāng)于把xn換成xn+1，這是一個(gè)五次輪換。此外對(duì)于把2n*pi/5換成2pi-2n*pi/5的變換，x1和4，2和3發(fā)生了改變，而5不變，這是一個(gè)對(duì)換。這樣的五次輪換和一個(gè)對(duì)換剛好對(duì)應(yīng)C5*C2=M10=D10，正好就是五倍角方程的伽羅瓦群。

觀模函數(shù)求解一般五次方程的解的形式，可以看到它是一個(gè)橢圓模函數(shù)交錯(cuò)相減的乘積式，這個(gè)式子就是交錯(cuò)群A5的不變量。它并不是橢圓模函數(shù)的倍元方程！橢圓模函數(shù)和五次方程的聯(lián)系，在于模群和A5的聯(lián)系！

五次方程的根，也可以用橢圓函數(shù)來(lái)構(gòu)造，例如魏爾斯特拉斯P函數(shù)[Jacobi和Perron，注意該解法根的形式和橢圓模函數(shù)法構(gòu)造的形式極為相似]。而更高次的方程，就要用到超橢圓函數(shù)，乃至用廣義theta函數(shù)所構(gòu)造的特殊函數(shù)，乃至號(hào)稱可解一切代數(shù)方程基本形式的Fochs函數(shù)等等。這里橢圓函數(shù)（維爾斯特拉斯P函數(shù)、Jacobi橢圓函數(shù)等等）尚且存在有理的加法公式，再往后可能只存在一個(gè)擬加法公式，直至沒(méi)有加法公式。求解高次的代數(shù)方程，不論使用什么特殊函數(shù)，其基本思路是一致的，就是用特殊函數(shù)的對(duì)稱式構(gòu)造An的不變量。

第五個(gè)問(wèn)題：數(shù)值方法在研究代數(shù)方程形式的解問(wèn)題上可有應(yīng)用？

雖然看上去無(wú)論是根式解還是特殊函數(shù)解都不是一個(gè)數(shù)值問(wèn)題，但數(shù)值方法仍然可能在研究代數(shù)方程形式解問(wèn)題上得以應(yīng)用，具體方法則是用數(shù)值形式的根輔助不變量的推測(cè)，以及猜測(cè)方程的伽羅瓦群。由于數(shù)值方法存在不準(zhǔn)確的問(wèn)題，我們猜完了還要證明，即寫(xiě)成形式符號(hào)的不變量，然后以代數(shù)的運(yùn)算證明它屬于某個(gè)域。

其次，面對(duì)特殊函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)值解也可用于排除某些特殊函數(shù)的組合（例如是否有虛部）等等。

第六個(gè)問(wèn)題：實(shí)踐上如何處理一個(gè)一般的代數(shù)方程求解問(wèn)題？如果該問(wèn)題不僅僅需要數(shù)值解。

解決方法首先是篩有理根（艾森斯坦因判別法），其次是篩重根（形式導(dǎo)數(shù)與原多項(xiàng)式的公因式）和試圖在系數(shù)域內(nèi)因式分解。把有理根去掉，重根取出來(lái)，系數(shù)域內(nèi)因式分解拆出一些不可約多項(xiàng)式。那么整個(gè)問(wèn)題就變成了一些不可約無(wú)重根多項(xiàng)式的問(wèn)題，這樣就適用測(cè)定伽羅瓦群并且試圖求根式解或特殊函數(shù)解的方法。

總之，是要把復(fù)合的問(wèn)題拆成單個(gè)問(wèn)題（不可約無(wú)重根），然后對(duì)單個(gè)問(wèn)題去按套路求解。討論根式解和特殊函數(shù)解的問(wèn)題，是用于不可約無(wú)重根的方程的，這是單個(gè)問(wèn)題；對(duì)多個(gè)問(wèn)題復(fù)合的方程，不應(yīng)該想著不辨細(xì)處一個(gè)公式套下去。否則，會(huì)得到類似卡爾丹諾提出的一些整數(shù)=不能化簡(jiǎn)的多個(gè)根式和差的奇怪式子（但卻是對(duì)的）。