關于電磁場的能量問題，說起來貫穿電磁學的各個層面（從電磁學的練習題到電動力學本身的自洽性），而且經常引出一些佯謬。本文對于這個主題做一些討論。

Remark:?如果是純電磁場，理論很漂亮。但是一旦涉及粒子，經典的電磁理論就會出現一系列問題。所以特別要注意區(qū)分這兩者。

首先不去管物理含義，單純從數學上推導一下電磁場的能量。基于四條Maxwell方程和一條Lorentz力公式，我們希望得到這樣一個連續(xù)性方程：

w是能量密度，S是能量流密度，f*v是對電荷做功。這個連續(xù)性方程刻畫的是：電磁場的能量通過驅使電荷運動轉化為機械能。

為了得到這樣一個方程，注意到f*v=j*E，然后把j代到Maxwell方程里邊就完事了。過程自己算一下就知道了，略去。結果是：

Remark:

1. S稱為Poynting矢量。只有電場和磁場同時存在的時候才會有能流。

2. 能量密度和能流密度都是二次的，不能疊加。

3. 公式很簡單，放在上一篇文章里屬于第二層，仍然是最普適的公式，用于分析各種物理情形都是有用的。

4. 回想一下這個公式是怎么推出來的，我們發(fā)現是把一個守恒量定義成了能量，但是這個形式并不一定是唯一的。我們可能能找到別的w和S同樣滿足連續(xù)性方程。

5. 從數學上來看，一切都來源于Maxwell方程+Lorentz力+連續(xù)性方程。所以如果對于能量密度這個概念產生任何疑惑/困擾，最終都要回到連續(xù)性方程上來理解。舉個例子，把一個充著電的平行板電容器拉開，電磁場能量少了。去哪了？根據連續(xù)性方程，一定是電場力驅使著一些電子跑起來，變成動能了。進一步，這些動能又通過電源轉化成了化學能。而這部分化學能不僅有原來的電磁能，還有拉力做的功。這樣能量轉化才清楚。

6. 能量重要的不是絕對值是多少，而是改變了多少。所以這里重要的其實是

只有它有物理意義。

對于介質中的電磁場能量，需要搞清楚這樣一個道理：之前的公式沒有錯！之前的公式是基于最普適的原理推出來的，任何情況下都是對的，不管是介質，還是金屬，還是半導體...都是對的。所以說，介質中又靜電場E，能量密度是多少？就是\epsilon_0/2 E^2。

然而！介質的極化和磁化也需要能量，這部分能量可以單獨計算，也可以歸并到電磁能里邊。就像介質Maxwell方程一樣，你可以單獨計算E和P，但是為了方便，不去單獨考慮束縛電荷，也可以歸并到D里面，這樣就只需要研究自由電荷了。

利用介質Maxwell方程一樣的推理，結論是：

形式也是非常的簡單。但是要注意，這是“歸并”（了極化和磁化的能量）之后的電磁場能量，“純”的電磁場能量依舊是

如果用純電磁場能量的公式，就必須要考慮極化和磁化的能量。如果容歸并形式，就不用考慮極化和磁化的能量變化。二者計算出的結果必然是一樣的。

作為四維張量的分量，能量和動量是一體的。我們自然也可以討論電磁場的動量。

一樣，我們希望得到這樣一個連續(xù)性方程：

其中g是動量密度，\mathcal{T}是動量流密度，是一個二階張量（比如說，x方向的動量在y方向的變化）。結論是：

注意到動量密度和能流密度成正比。動量指向哪個方向，能量就怎么流。

電磁場的動量可以導致光壓；對于介質，也可以寫出動量密度和動量流密度。這兩點姑且不多談，畢竟這只是電磁學筆記。

電磁場能量的物理意義到底是什么？

【1】我們經常說，靜電場中，一個電荷的電勢能是qU。這和前面的公式是什么關系？其實是一個特例罷了。下面證明之。

假設在一個靜電場（用電勢\Phi(x)刻畫）中，有一個試探電荷（其電量很小，當作一個小量，忽略掉二階項），放在原點，求這個試探電荷的電能。代入公式：

這是因為，E^2作為高階小量略去，\nabla\Phi^2是一個常數可以直接略去。接下來，

就證明完畢了。

【2】靜電能不是集中在電荷上的，而是彌散在電場里面的。我們說的電荷的能量（當然指的是電磁能，不包括機械能），其實就是它彌散的電磁場的能量。而w公式是最普適的公式，適用于所有情況，不限于靜電場。之前所有能量公式都是它的特例。

這和我們高中時候的認知是不同的。以前我們覺得qU就是電荷的電場能，跟動能一樣，就是這個電荷上的東西。但是現在我們知道，qU是彌散在整個空間中的。

【3】總結來說，w的物理意義到底是什么？如果是純電磁場，那么很好理解，就是場的能量。如果是粒子，它代表粒子的電磁場的能量，也就是平時所說的粒子的電能，這個電能不是局域在粒子上，而是彌散的。

下面計算一些電容的例子，加深理解。

【例子1】電容器充電。用一個電源給平行板電容充電直到達到電壓U。這個過程的能量轉化是怎樣的？

首先我們要搞清楚電源，或者說電動勢，到底是個什么玩意兒。電動勢就是克服電場作用強行逆向搬運電子，定義為搬運單位電荷的非靜電力做功。所以單位和電壓一樣，但是物理意義和電壓完全不一樣。它可以想像成用鑷子強行把一個個電荷逆著電場夾過去，這就是一個機械的電動勢；可以是通過氧化還原，這就是一個化學的電動勢?？傊肻mathcal{E}這個參數表示這個電動勢的搬運能力。

放在電磁學里面，一言以蔽之，它就是一個“特定性假設”：有這樣一個機械，能夠將某種能量（通常是化學能）通過搬運電荷轉化為電荷的電磁能/機械能：

通過q的電荷，做功這么多。它加上Maxwell方程就可以解決問題了。

回到我們的問題。如果直接用w公式算，結果是

如果用qU算，W=\int U(q)dq，結果還是

兩種方法算出來的結果當然是一樣的，因為qU和w就是一回事。同時也說明，電容器所謂的儲存電能，指的就是儲存在極板之間的電場上面，而其實不是儲存在兩個極板上。

但是我們發(fā)現一個問題。電動勢搬運電荷做的功為

那剩下的

能量哪去了？沒有別的去處，那它只能變成內能。這個電路必然是有電阻的，電流通過它的時候就恰好產生

這么多的內能。

Remark: 在這個例子中，所謂無電阻的理想電路這個假設是會出問題的（R=0,I=\infty）。只有引入電阻能夠解決這部分能量哪去了的問題。

【例子2】（Two capacitor paradox）這是個有名的paradox。

一開始左邊的電容充電了，右邊沒充。靜電能為1/2 CU^2。

現在閉合開關，總的靜電能為1/4 CU^2。

問題來了：剩下一半的靜電能哪去了？

和上一題一樣，如果有電阻，它就轉變成了內能。如果沒有電阻，電荷會一直振蕩，總的能量不變，不會達到穩(wěn)態(tài)。如果能夠作為天線輻射能量，那么還有一部分能量會被輻射走。

【例子3】拉開電容。一個電容，接著電源\mathcal{E}，現在手動把d拉開變成2d，求這個過程中的能量轉化？

一開始，電極板上帶有的電荷為\epsilon_0US/d。后來減小為\epsilon_0US/(2d)。一開始的能量為\epsilon_0U^2S/(2d)，后來變成\epsilon_0U^2S/(4d)。根據我們之前的闡釋，這部分電磁能對電子做功，轉化為了電子的動能（有\(zhòng)epsilon_0U^2S/(4d)），于是電子跑了起來，反著通過電源，動能轉化成了\epsilon_0U^2S/(2d)的化學能。

動能只有\(zhòng)epsilon_0U^2S/(4d)，怎么會變成\epsilon_0U^2S/(2d)的化學能？多出來的部分來自于外力做功多給電子的\epsilon_0U^2S/(4d)這么多動能。外力做功可以這樣計算：

這里要注意，電荷對自己是沒有作用力的（詳見下一小節(jié)的闡釋），所以上極板感受到的電場只有U/(2(d+x))。

綜上，所有的能量轉化都搞清楚了，能量保持守恒，沒有出現任何paradox。

考慮上點電荷的電磁理論就不是Maxwell方程這么簡單的了，有很多不自洽的地方，特別是考慮加速運動和輻射的時候。這時候Maxwell理論必須做修正，而是目前還遠沒有完成的工作。這方面可以參考FeynmanII28。

我們先來考慮這個問題：電荷可以對自己有作用嗎？我們一般算電荷受力，都是“外場”對它的力，而不包括自己對自己的力；實際上自己這個點自己產生的電場是無窮大，沒法算。

但是我們回想一下李納-維謝爾勢：

一個運動電荷產生的電磁場是這樣的。如果電子是一個球，那么自己上一個點產生的電場會對一段時間后另一個點產生力。這就是自作用力。

此外我們還可以看看運動電荷的電磁場的明確形式：

其中存在一個輻射場，這說明加速運動的電荷會輻射能量，或者說自己對自己有一個阻礙力（輻射阻尼力）。這個輻射阻尼力到底是怎么回事，會不會導致因果性的破壞，現在還不知道。不過可以證明，在尺度遠大于電子的經典半徑2.82e-13cm的時候，輻射阻尼力可以忽略。實際上，平均意義下的輻射阻尼力為：

這就是自作用力的表達式。

總的來說，電荷如果加速運動，就會對自己有作用力，只不過在宏觀尺度上一般可以忽略。所以一般只要考慮電荷在“外場”中的受力即可。

經典電磁理論的另一個問題在于電子自能。我們之前在

里面忽略了E^2這個“高階小量”。但實際的計算發(fā)現，如果把電子當作一個半徑為r的小球，那么這部分的積分結果實際上是

如果r->無窮大，電子自能將會發(fā)散。當然我們可以說一個不會改變的常數能量不會產生物理效應。但是不管怎樣這里面還是個問題。