考慮一個(gè)?
?內(nèi)全純的函數(shù) )
，?記它在?
內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 )
?（算上零點(diǎn)的重?cái)?shù)），則根據(jù)經(jīng)典的輻角定理，可得：
%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%20i%7D%5Coint_%7B%7Cz%7C%3Dr%7D%5Cfrac%7BF'%7D%7BF%7D(z)%5Cmathrm%20dz%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7BF'%7D%7BF%7D(re%5E%7Bi%5Ctheta%7D)re%5E%7Bi%5Ctheta%7D%5Cmathrm%20d%5Ctheta)
將它除以r后從0到R積分，由于左側(cè)是實(shí)數(shù)，所以先對(duì)右側(cè)取實(shí)部，
%7Dr%5Cmathrm%20dr%26%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5CRe%5Cint_0%5ER%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cfrac%7BF'%7D%7BF%7D(re%5E%7Bi%5Ctheta%7D)e%5E%7Bi%5Ctheta%7D%5Cmathrm%20d%5Ctheta%5Cmathrm%20dr%5C%5C%26%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%7D%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cln%7CF(Re%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%7C%5Cmathrm%20d%5Ctheta-%5Cln%7CF(0)%7C%5Cend%7Baligned%7D)
然鵝對(duì)r的積分過程，r會(huì)取遍所有零點(diǎn)的模，我們要驗(yàn)證取到這些r時(shí)并不會(huì)對(duì)積分結(jié)果造成影響：取?
?在??內(nèi)的所有零點(diǎn)的模，并將他們從小到大排列：
?
?
我們打算證明對(duì)每個(gè)?
r_ie%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%7D%7BF((1-%5Cepsilon)r_ie%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%7D%5Cright%7C%5Cmathrm%20d%5Ctheta%3D0)
設(shè)?
?是??在圓?
?上的所有零點(diǎn)（多重零點(diǎn)按重?cái)?shù)計(jì)算），那么它就可以被分解為
%3DG(z)%5Cprod_%7Bj%3D1%7D%5Em(z-z_j))
其中 
是一個(gè)在該圓上沒有零點(diǎn)的全純函數(shù)，由此有
%7C%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Em%5Cln%7Cre%5E%7Bi%5Ctheta%7D-z_j%7C%2B%5Cln%7CG(re%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%7C)
取?r_i%2Cr%3D(1-%5Cepsilon)r_i)
?并積分后相減，得
r_ie%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%7D%7BF((1-%5Cepsilon)r_ie%5E%7Bi%5Ctheta%7D)%7D%5Cright%7C%5Cmathrm%20d%5Ctheta%3D%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Em%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%5Cln%5Cleft%7C%5Cfrac%7B(1%2B%5Cepsilon)r_ie%5E%7Bi%5Ctheta%7D-z_j%7D%7B(1-%5Cepsilon)r_ie%5E%7Bi%5Ctheta%7D-z_j%7D%5Cright%7C%5Cmathrm%20d%5Ctheta)
因?yàn)?
?模長為?
?，所以對(duì)每個(gè)?
，有
r_ie%5E%7Bi%5Ctheta%7D-z_j%7D%7B(1-%5Cepsilon)r_ie%5E%7Bi%5Ctheta%7D-z_j%7D%5Cright%7C%5Cmathrm%20d%5Ctheta%3D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Cln%5Cleft%7C%5Cfrac%7B(1%2B%5Cepsilon)e%5E%7Bi%5Ctheta%7D-1%7D%7B(1-%5Cepsilon)e%5E%7Bi%5Ctheta%7D-1%7D%5Cright%7C%5Cmathrm%20d%5Ctheta)
又由于
e%5E%7Bi%5Ctheta%7D-1%7D%7B(1-%5Cepsilon)e%5E%7Bi%5Ctheta%7D-1%7D%5Cright%7C%5E2%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon%5E2%2B4(1%2B%5Cepsilon)%5Csin%5E2%5Cfrac12%5Ctheta%7D%7B%5Cepsilon%5E2%2B4(1-%5Cepsilon)%5Csin%5E2%5Cfrac12%5Ctheta%7D%3D1%2B%5Cmathcal%20O(%5Cepsilon))
所以確實(shí)有
這也就證明了以下定理：
（Jensen零點(diǎn)公式）對(duì)??內(nèi)全純的函數(shù)??，以??表示它在??內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（算上零點(diǎn)的重?cái)?shù)），則
將右側(cè)的積分用分部積分可得
%7Dr%5Cmathrm%20dr%3Dn(R)%5Clog%20R-%5Cint_0%5ER%5Clog%20r%5Cmathrm%20dn(r))
設(shè)?%7D)
?為??在??內(nèi)的所有零點(diǎn)，則有
%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn(R)%7D%5Clog%20%7Cz_i%7C)
由此便可得Jensen公式最常見的一種形式：
%7C%5Cmathrm%20d%5Ctheta%3D%5Cln%7CF(0)%7C%2B%5Clog%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn(R)%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7BR%7D%7Bz_i%7D%5Cright%7C)
標(biāo)簽：
