用矩陣來(lái)求解線性方程組--北太天元學(xué)習(xí)14

線性方程組出現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模的幾乎所有領(lǐng)域。矩陣為求解和分析這些線性方程組提供了一種結(jié)構(gòu)化的方式。本節(jié)我們簡(jiǎn)單介紹矩陣的定義、性質(zhì)和在北太天元中如何使用矩陣。

m×n矩陣是一個(gè)由m行n列的數(shù)字組成的矩形陣列，可以用

a_{1,1} a_{1,2} ... a_{1,n}
a_{2,1} a_{2,2} ... a_{2,n}
?? ?...
a_{m,1} a_{m,2} ... a_{m,n}

表示，注意用一個(gè)小括號(hào)或者中括號(hào)括起來(lái)，我這里不方便打這個(gè)括號(hào)。
上面的每個(gè)a_{i,j}都是實(shí)數(shù)，我們就說(shuō)A是一個(gè)實(shí)矩陣。
符號(hào)a_{i,j}是指矩陣第i行第j列的元素. ?

例如2×3矩陣A=
?1 2 3
?4 7 6
回想北太天元學(xué)習(xí)2，要輸入這個(gè)矩陣，我們可以使用命令：
A=[1 2 3; 4, 7 6]
其中; 用來(lái)隔開(kāi)行。
命令A(yù)(i,j) 返回矩陣的(i,j)元，也就是第i行和第j列的交叉處的元素a_{i,j}.
輸入A(1,:) 返回的第1行, 第行，輸入A(:,2)返回A的第2列。
矩陣的轉(zhuǎn)置是通過(guò)將其行與列交換而獲得的新矩陣, 在北太天元中可以用 .' 運(yùn)算符i
例如上面的2x3矩陣A的轉(zhuǎn)置是
A.'
是一個(gè)3x2的矩陣
1 4
2 7
3 6
向量是一個(gè)只有一列或一行的矩陣。

行向量w=[2 7 8]可以使用下面的命令輸入

>> w=[2 7 8]

要返回行向量的第二個(gè)元素，請(qǐng)使用命令w(1,2), 或簡(jiǎn)單地使用w(2)。
零向量是由所有零組成的向量，

向量的范數(shù)可以有多種定義，其中有一個(gè)定義和長(zhǎng)度相當(dāng),
?? ?v = [v_1,v_2, ... v_n]
的2-范數(shù)用北太天元的內(nèi)置命令 norm(v,2) 或者 norm(v) 來(lái)返回，它的定義為
? norm(v,2) = sqrt( |v_1|^2 + ... + |v_n|^2 );
這里的 |v_i| 表示 v_i 的絕對(duì)值或者模(針對(duì)v_i是實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù)的情況).

我們也可以將矩陣乘以一個(gè)標(biāo)量, 例如
A = [ 1 2 3 ;
????? 4 7 6 ];
2*A 返回
?? ?[ 2 4 6;
??? 8 10 12 ]
這個(gè)運(yùn)算叫做矩陣的標(biāo)量乘法。

線性方程組

假設(shè)我們要求解以下三元線性方程組：

?3x_1? ?x_2? + 2x_3=?3（i）
7x_1? + 4x_2 + 3x_3=?2（ii）
x_1?? + x_2? + x_3=?1（iii）

我們初中就學(xué)習(xí)了可以使用加減消元法求解，實(shí)際上這就是我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽大約與公元
263年就提出的方法，后來(lái)被稱為高斯消去法。

消去法由下面幾個(gè)操作組成:
1 將一個(gè)方程乘以一個(gè)非零常數(shù);
2 在一個(gè)方程上加上另一個(gè)方程的倍數(shù);
3 交換兩個(gè)方程。
一個(gè)方程的系數(shù)和一個(gè)矩陣的一行對(duì)應(yīng)起來(lái)，可以把右端項(xiàng)放在矩陣的最后一列。
這樣，消去法的幾個(gè)步驟就對(duì)應(yīng)了矩陣的幾個(gè)操作:
1 將矩陣一行乘以一個(gè)非零常數(shù);
2 在矩陣的一行加上另一個(gè)行的倍數(shù);
3 交換矩陣的兩行。
這三個(gè)操作稱為矩陣的初等行變換。
例如，我們對(duì)剛才舉的三元線性方程組的系數(shù)和右端項(xiàng)組成的矩陣如下
-2 -1? 4?? -2
7?? 4? 2?? -2
1?? 1? 2?? -1
這個(gè)矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣。
請(qǐng)記住，增廣矩陣中的每一行都對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性方程。

我們可以做三個(gè)基本的行變換，矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組也隨之改變，但是它們不會(huì)改變
所對(duì)應(yīng)的線性方程組的解：

1.將一行中的所有元素乘以一個(gè)非零常數(shù)。我們可以這樣做，
這相當(dāng)于我們?cè)谝粋€(gè)方程的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非零常數(shù)，而這個(gè)操作不改變這個(gè)方程的解的。

2.交換矩陣的兩行。兩行做了交換，相當(dāng)于交換了兩個(gè)方程，而出現(xiàn)的順序
對(duì)線性方程組的解沒(méi)有任何影響。

3.用矩陣第i行本身和矩陣第j行的倍數(shù)之和替換第i行。這個(gè)操作對(duì)應(yīng)到方程上相當(dāng)于，
我們把j個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以一個(gè)常數(shù)，然后加到第i個(gè)方程上，這樣得到線性方程組和原來(lái)
的方程組顯然是同解的。

我們的目標(biāo)是使用上面的行變換，直到我們可以輕松地找到線性方程組的解。

我在草稿紙上隨手寫了一個(gè)線性方程組，就以那個(gè)為例吧, 我會(huì)用截圖的方式
給出那個(gè)線性方程組：

上面線性方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣是

A= [ 1 3 5 6? ; 7 2 0 4 ; 5 8 6 2 ] ; ?
B = A; % 備份一下這個(gè)矩陣, 下面的行變換就直接在矩陣A上做了，會(huì)改變矩陣A

A(2,:) = A(2,:) - A(1,:)*A(2,1)/A(1,1);? %A(2,1)化為0
A(3,:) = A(3,:) - A(1,:)*A(3,1)/A(1,1);? %A(3,1)化為0
%此時(shí)A的第二行和第三行矩陣對(duì)應(yīng)的方程已經(jīng)不包含未知數(shù)x1, 就是消去了x1元.
%
A(3,:) = A(3,:) - A(2,:)*A(3,2)/A(2,2);? %A(3,2)化為0
%第三行兩邊乘以非零常數(shù)
A(3,:) = A(3,:) *(? 1/A(3,3) );? %A(3,3)化為1

%
A(2,:) = A(2,:) - A(3,:)*A(2,3)/A(3,3);

%第二行兩邊乘以非零常數(shù)
A(2,:) = A(2,:) *(? 1/A(2,2) );? %A(2,2)化為1

A(1,:) = A(1,:) - A(3,:)*A(1,3)/A(3,3);

%
A(1,:) = A(1,:) - A(2,:)*A(1,2)/A(2,2);


我們可以用for 循環(huán)來(lái)簡(jiǎn)化上面的腳本
A= [ 1 3 5 6? ; 7 2 0 4 ; 5 8 6 2 ] ; ?
B = A; % 備份一下這個(gè)矩陣, 下面的行變換就直接在矩陣A上做了，會(huì)改變矩陣A
n = 3;
for j = 1:n-1
?? ?for i = (j+1):n
?? ??? ?A(i,:) = A(i,:)? - A(j,:)*A(i,j)/A(j,j);
?? ?end
end

for j=n:-1:2
?? ?A(j,:) = A(j,:) * (1/A(j,j));
?? ?for i=j-1:-1:1
?? ??? ?A(i,:) = A(i,:) - A(j,:) * (A(i,j)/A(j,j));
?? ?end
end

線性方程組還能寫成系數(shù)矩陣C乘以一個(gè)列向量x等于右端項(xiàng)b
的形式:
?? ??? ?C x = b
此時(shí)很容易讓我們學(xué)習(xí)的一元一次線性方程ax=b的求解類比，
于是，你可能會(huì)想到是不是可以在北太天元里用
?? ??? ?x = C\b
來(lái)求解線性方程組， 這樣可以嗎？ 是可以的，

例如
% A 還是線性方程組的增廣矩陣
A= [ 1 3 5 6? ; 7 2 0 4 ; 5 8 6 2 ] ; ?
% A的前三行和前三列組成的子矩陣是線性方程組的系數(shù)矩陣。
C = A(1:3,1:3) ; % 取子矩陣
%右端項(xiàng)
b = A(:,end) ; %取矩陣A 的最后一列
%左除得到線性方程組的解
x = C\b

知識(shí)點(diǎn)小結(jié):
消元法
線性方程組 和 矩陣對(duì)應(yīng)? ?
系數(shù)矩陣
增廣矩陣

初等行變換
北太天元 A(i,j),? A(i,:), A(:,j)

Cx = b 通過(guò)左除求解 x = C\b;