我們知道函數(shù)最重要的幾個性質(zhì)有：定義域、值域、單調(diào)性。這三者是不可分割的！

今天我們就簡單來談談這三者。

首先，對于一個函數(shù)，我們最能直觀得到的是：

①自變量? ②作用法則? ③因變量? ④定義域

這里我們就能知道函數(shù)定義域（注，一般若無特殊說明，函數(shù)定義域默認為最大情況，如函數(shù)y=，定義域則為[0,+∞)），而我們就只需要從這4個量里面得到單調(diào)性與值域。

那么在此基礎上，我們要如何得到值域呢？

值域，是什么？對于函數(shù):，也便是對于所有的x，通過作用法則，得到全部的對應的y。但是事實上，我們接觸到的絕大多數(shù)函數(shù)，一般的函數(shù)都會是連續(xù)的，或者極大部分連續(xù)，那么求值域問題就變成了單純的求最大值和最小值問題了。

那我們要如何到的最大值和最小值呢？那么自然就需要知道函數(shù)的單調(diào)性了。

從而我們的主要目標就變成了 求函數(shù)的單調(diào)性。

但是對于函數(shù)而言，是多變的，我們不可能簡單直觀的輕松得到單調(diào)性。

這就需要我們?nèi)ゴ罅繉W習記憶了。

這里記憶是指記憶什么呢？在我看來，是記住一些規(guī)則，以及一些函數(shù)的具體走勢。

下面簡單介紹常見的函數(shù)。

首先從初中時候的講起：

• （1）y = kx + b，即 線性函數(shù)、一次函數(shù)

對于一次函數(shù)，我們需要注意：

對于一次函數(shù) y=kx+b 而言，

當k＞0時，函數(shù)為增函數(shù)；當k=0時，函數(shù)為常值函數(shù)；當k＜0時，函數(shù)為減函數(shù)。

這么看來，似乎與b無關？答案確實是如此，當以后扯到平移伸縮變換的時候再細講。

值得一提的是，什么是常值函數(shù)？他的意思是，不會隨著自變量x的改變而改變。這什么意思？當我們把 k=0 帶入時，得到 y=b，這個表達式與x沒有任何關系，但他仍然是x的函數(shù)。

也便蛻變成這樣的函數(shù)，

當k<0時也是同理。

• （2）y?= k / x，反比例函數(shù)

對于反比例函數(shù) y=k / x?而言，

首先，反比例函數(shù)，我們值得注意的是，x在位于分母的位置，我們知道，無論如何，分母都是不能為0的。于是默認的定義域也就變成了 x≠0 。

當k>0時，圖像走勢便如上圖所示，注意他是分段遞減！他在?上單調(diào)遞減，這里我是用的是 “ 和 ”，而不是? “? ”，這是不同的概念?！?和 ”表明了 分段 的意思，但 “??” 則暗示整體。

當k=0時，則退化為 y=0，與上面的y=b相同。（因為也就是b=0的情況嘛 : D ）

當k<0時，則與k>0的情況相反，分段遞增。這里則不再贅述。

另外，比較重要的一點是，從圖像中我們注意到反比例函數(shù)一個特殊性質(zhì)。

我們可以看到，x從某一個正數(shù)，不如假設為4，逐漸減小，直到趨近為0，函數(shù)會有什么表現(xiàn)呢？不妨假定這個函數(shù)為：y=1/x，我們依次取幾個特殊的定值，便得到：

我們可以看到，隨著x越來越逼近0，y的值也隨之越來越大。

我們能夠預見到，反比例函數(shù)，當x趨近與0時，y將逼近無窮大！

這一點是十分重要的！

叮叮叮 ~ 小考核時間? ? ：D

已知 f（x） 是反比例函數(shù)，且系數(shù)k>0，又知道 f（x1）> f（x2），那么...! 請問 x1、x2與0的關系可能有哪些呢？

耐心思考吧 ~?

Tips：結(jié)合圖像看，更快得出答案哦 ~

Answer：

① 0<x1<x2 ； ②x1<x2<0 ;? ③ x2<0<x1

前兩個是很容易通過單調(diào)性得到的，但是第三個則是 通過分段這一特殊性得到！

• （3），二次函數(shù)

對于二次函數(shù)而言，是十分特殊的存在，因為他多了一個特殊的性質(zhì)，對稱性。

就像圖形所示的一般，紅色部分（二次函數(shù)）關于藍色線對稱，那么這個藍色的便被稱為對稱軸。

為什么對稱性就特殊了？因為有了對稱性，這就意味著，你在一段地方是遞增的，則必定在對稱的地方會遞減。這便意味著，我們又可以偷懶了！好誒！

那么這么好的東西，我們?nèi)绾潍@得呢？

這就需要我們把他變成原型，快給我變！?。?/p>

，同樣的道理，k≠0 ?。?！

那么我們又知道最簡單的二次函數(shù)，y=x2，他的對稱軸是誰？當然是0啦！000000000~

那么上面的呢？也就是括號內(nèi)的值也要是變成0嘛，所以 x＝m 就是對稱軸咯。

我們再稍微展開，上式也就變成了 y=kx2-2kmx+km2+n，我們再聯(lián)系前面所寫的，

y＝ax2+bx+c，便有了

①a = k；②b=-2km，那么很自然的得到 m = -b/2a，

我們前面又說，x=m是對稱軸，從而對稱軸就是 x = -b / 2a，

其他部分對著函數(shù)圖像就可以得到啦！大家試試舉一反三吧！

單調(diào)性：

當a>0時，函數(shù)在(-∞，-b/2a)時遞減，在（-b/2a，+∞）時遞增。那么當x＝-b/2a時，取到什么值？什么值？想清楚！函數(shù)先減下來，然后再增上去。

老師！是最小值??？

？

很棒！確實是最小值！

同理。

當a<0時，函數(shù)在(-∞，-b/2a)時遞增，在（-b/2a，+∞）時遞減。不再贅述。

那么老師，為什么a不能等于0呢？

我們不妨把a=0帶入，從而y=bx+c，啊這，這不就是我們討論的第一個函數(shù)嗎？

帥啊！

廢話！老師當然帥了！

于是，時光匆匆，來到了高中......

• （4）（0<a<1或a>1），指數(shù)函數(shù)

注意與冪函數(shù)?進行區(qū)分！??！

正如圖像所示，一些性質(zhì)躍然眼前。

首先，單調(diào)性！

當a>1時，明顯函數(shù)是在上單調(diào)遞增的，而當a在(0,1)范圍呢？就像圖像所示的，恰恰相反，單調(diào)遞減。

那么老師，當a=1呢？

咱們小學二年級的時候就學過，

無論幾個1相乘都是1呀！

所以這不就是常值函數(shù) y = 1 嗎？

哦！那么 a = 0 也是這樣吧！那a < 0呢？

不妨我們?nèi) = -1，

當x＝1，便得到-1，

當x = 2，便得到1，

當x = 3，便得到-1，

現(xiàn)在，你喜歡這種反復橫跳的東西嗎？！

確實?。?！

另外我們又注意到，函數(shù)值始終是大于0的，那么實際上，值域就是[0,+∞)

另外一個重要的點就是，函數(shù)無論a是多少，都經(jīng)過（0,1）這個定點。這是為什么呢？

我們把x帶入，我們知道，任何數(shù)的零次方都是1（除了0，因為無意義）！

• （5）?(0<a<1或a>1)，對數(shù)函數(shù)

學了高一數(shù)學，我們就知道對數(shù)和指數(shù)是孿生的。但這里我們便不做贅述。

但圖像我們還是要記憶的！

他的單調(diào)性是與指數(shù)函數(shù)相同的。

當a>1時，在（0，+∞）遞增，當0<a<1時，在(0，+∞)遞減！

另外我們知道，函數(shù)的值域是，而且經(jīng)過定點（1,0），不然我們咋說孿生函數(shù)啊~

（關于反函數(shù)的知識，我們以后再講?。?/p>

那么至此，差不多都講完了

........?

現(xiàn)在將高中最后一個，也是最重要、最常見的函數(shù)！

• （6）y = x + a/x（a>0），對勾函數(shù)，耐克函數(shù)

注意：必須要求a是＞0的?。?！不然，不會出現(xiàn)這樣的圖像?。。。ǖ疤崾牵瑇前面沒系數(shù)，后面會提到）

此函數(shù)可以看做是 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的組合函數(shù)，具有一些特殊性質(zhì)

首先，毫無疑問，這里，函數(shù)圖像在(0,+∞)這部分出現(xiàn)了最小值。

通過作差法，我們很容易得到極小值是出現(xiàn)在處，

我們有知道，x2>x1>0，從而只需要查看（x1x2-a)與0的大小關系，

很顯然，我們有當時，有x1x2-a<x22-a=( - a)=0，

也就是原式＜0，從而，

當0<x1<x2<，f（x2）<f（x1），也就是說，函數(shù)f在（0,）遞減。

那么同理，當x>時，函數(shù)遞增！

那么今天就說到這里吧！

隨堂小練習? *-*

分析：

（1）函數(shù)必定是單調(diào)的，故有

f(1)=-1，f(3)=3? ? 對應a>0

或者f(1)=3， f(3)=-1? ? 對應a<0

（2）由f(1)=f(3)得出對稱軸 x = 2，隨后結(jié)合圖像做。

憑什么說x=2是對稱軸？因為在對稱軸兩側(cè)是嚴格單調(diào)的，對于一個特定的y值，必定是嚴格關于對稱軸對稱的兩個x點，不可能有其他的第三個x點

（5）函數(shù)f(x)=-2(x+4/x)，進行這樣處理后，便變成了我們熟悉的對勾函數(shù)

• (7)y = x-a/x，（a>0）雙刀函數(shù)

這實際上是對應著y=x+a/x，其中a<0的情況，a=0時退化為y=x。

實際上這個是與y=-1/x相似，兩邊分段遞增的。我們以后繼續(xù)講單調(diào)性的時候再談。

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