這幾年讀了一些有意思的數(shù)學(xué)書，推薦一下。在每本下會標明難度和前置課程。難度最高是5

推薦的書目會有跳躍（就有的課程我當(dāng)時學(xué)的時候選的書并不是很好）

1.抽象代數(shù)基礎(chǔ)教程--Rotman

難度：3.5

前置：假如學(xué)過線性代數(shù)會很好，沒學(xué)過其中也會包含的

? ? ??這本書我強推！理由就在于這本書真的詳細...我當(dāng)時學(xué)抽象代數(shù)就是想知道伽羅瓦是怎么證明5次以上多項式?jīng)]有求根公式，以及后面人怎么用這個理論證明不能化圓為方、三等分角的。（雖然最后這本書沒有按照原來的證明，而是用了現(xiàn)代的一個新的路徑）

? ? ? ?對于一個對于代數(shù)不擅長的人，這本書在證明的時候一個一個命題告訴你為什么這么想是真的太好了。。。很多教材都在一個證明里包含了太多代數(shù)的技巧，然而我不太能記住它。（畢竟我日常也不太用到，數(shù)學(xué)用不到就忘了）

2.直觀拓撲--王敬庚

難度：1

前置：無

? ? ???這本書特別特別簡單，基本沒有什么數(shù)學(xué)證明，可以當(dāng)一本科普書讀。里面甚至沒有多少抽象的符號，都是圖和圖和圖。

? ? ? 它基本介紹了 曲面分類定理、扭結(jié)以及對應(yīng)的一些有趣的技巧（用直觀的方式）。當(dāng)然這本書不是“拓撲學(xué)”的入門教材，它甚至沒有談?wù)撨^“同調(diào)”、“同倫”和“同胚”在數(shù)學(xué)上的定義。但是假如只是對拓撲學(xué)在低維幾何上的應(yīng)用感興趣，這本書就會介紹一些非常簡單（但也是很深刻的）應(yīng)用。

3.應(yīng)用隨機過程--Ross

難度：4

前置：概率論，但是其實前幾章會很詳細地復(fù)習(xí)一遍

? ? ? ? ?這本書好的地方是1.沒有涉及測度論 2.例題和習(xí)題非常、非常詳細，而且有非常詳細的應(yīng)用，涉及生物、金融、排隊...它這本書基本上把所有能遇到的初級的隨機過程模型都介紹了。

? ? ? ? ? 但是難是真的難。主要是很多技巧，詭異的技巧...而且整本書太過詳細了...就不是所有隨機過程模型都是我日后會用到的，但它都介紹了。有的應(yīng)用實在是太偏了，假如只是對經(jīng)濟或金融上的應(yīng)用感興趣應(yīng)該用不到（比如泊松過程的達到時間的條件分布，yysy我覺得我真的遇到的時候我就直接模擬一個就好了。）。而且很容易就迷失了主線...幾頁幾頁都是計算，估計，計算...然而算出來的東西應(yīng)用的地方我也不熟悉就很難受（就像你在學(xué)PDE，然后這個PDE的背景是薄膜障礙模型。于是你去看這個模型，然后就在補物理。終于補完物理再去看數(shù)學(xué)的部分，又是計算，估計，計算。）。

4.線性與非線性泛函分析及其應(yīng)用——Ciarlet

難度：5

前置：實變函數(shù)+數(shù)學(xué)分析必須；數(shù)值分析、微分幾何會的話會讀起來更容易

? ? ?? 這本書巨好，也巨難。好就好在 1.它的應(yīng)用非常直接，也非常好懂。就比如，它書上的一個應(yīng)用是如何數(shù)值求解二階線性常微分方程。這個就很直接而且不需要學(xué)科背景。（畢竟這個就很廣泛，而且方程寫出來也很簡單）。還有Larrange 插值法（就已知一段區(qū)間上未知的連續(xù)函數(shù)在n個點的取值，我用n次多項式把這n個點串起來。問：隨著n增大，這個多項式能不能逼近原函數(shù)？）的發(fā)散性。2. 它問了很多好問題。比如在不同范數(shù)下，同一個數(shù)列可以有兩個極限嗎？假如兩個范數(shù)都使一個集合完備，那這兩個范數(shù)等價嗎？這些問題學(xué)了這些概念都挺容易問的。

? ? ? ? 但難也難在這里。它涉及很多其他學(xué)科的數(shù)學(xué)，然而那里的技巧也是要學(xué)的。（雖然他選的問題都是那種教科書上必有的命題，所以答案很容易查到）另一方面，有的問題雖然看上去很直接，但整個證明巨難，尤其是舉例那種問題...雖然知道了對理解有很多幫助。