《Analysis of multistage amplifier-frequency compensation》這篇論文是很經(jīng)典的一篇講頻率補(bǔ)償?shù)奈墨I(xiàn)，里面綜述了對(duì)二、三級(jí)運(yùn)放補(bǔ)償?shù)亩喾N結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了比較。但是文章直接給了傳遞函數(shù)的表達(dá)式，并沒有解釋其原理，這里我將用局部反饋的方法對(duì)這篇論文中提到的每一種結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)。

原文是在notion上寫的，B站這里添加不了目錄，比較麻煩，建議在下面的網(wǎng)址看，更方便：

https://candied-place-2bd.notion.site/Analysis-of-multistage-amplifier-frequency-compensation-bf67357eed4644ca94d7999df8fc180c

SMC(Simple Miller Compensation)

簡單米勒補(bǔ)償是最基本的頻率補(bǔ)償，如果從局部反饋的觀點(diǎn)看這個(gè)電路，跨導(dǎo)放大器gmL會(huì)使得此電路的行為近似為一個(gè)積分器，傳遞函數(shù)為gm1/sCm，從而保持了-20dB/decade的下降趨勢(shì)。

需要說明的是，這里僅考慮了高頻時(shí)候的情況，低頻下由于Cm的阻抗較大，環(huán)路增益T實(shí)際上是很小的，當(dāng)ω小于T的第一個(gè)單位增益帶寬時(shí)，環(huán)路失效，H不再是積分器-20dB的斜率，而是變平，由此產(chǎn)生了H的主極點(diǎn)。但是我們這里考慮的是高頻，電阻跟電容并聯(lián)，足以被忽略掉，所以看不到這里的主極點(diǎn)。

論文中說，這里的右零點(diǎn)會(huì)嚴(yán)重影響相位裕度。為了降低這個(gè)影響，將此零點(diǎn)gmL/Cm放到GBW=gm1/Cm更遠(yuǎn)處，也就意味著gm1/gmL越小越好。但是gm1不能太小了，假設(shè)vgs不變，gm太小就意味著ID很小，影響擺率，同時(shí)ID小也意味著尺寸小，管子尺寸的匹配性就差，失調(diào)電壓更大。利用源極電阻衰減等效的gm1在低壓場(chǎng)景也是不合適的，會(huì)限制共模輸入范圍。

SMCNR(Simple Miller Compensation with Nulling Resistor)

SMC補(bǔ)償?shù)娜秉c(diǎn)是有個(gè)右零點(diǎn)，會(huì)嚴(yán)重降低相位裕度。在上面計(jì)算SMC零點(diǎn)的時(shí)候，可以看到問題在于Cm。Vout虛地的時(shí)候，Cm兩端看到的電阻是負(fù)的，所以會(huì)有右零點(diǎn)，那么補(bǔ)償這個(gè)右零點(diǎn)最簡單的方法就是串一個(gè)電阻進(jìn)去，把這個(gè)負(fù)阻變成0或者正的電阻，或者依然是負(fù)阻但是絕對(duì)值小一些，也就是挪遠(yuǎn)一點(diǎn)。不論什么情況，這些都有利于相位裕度。如果剛好補(bǔ)在1/gmL處，那么就沒有零點(diǎn)了，然而準(zhǔn)確的補(bǔ)償也不太好成立。

再來寫表達(dá)式，顯然添加進(jìn)去的這個(gè)Rm主要影響零點(diǎn)，對(duì)極點(diǎn)的影響很小，因?yàn)檩斎胫昧愕脑挘琑m上沒有電流，兩端等效阻抗無窮大。因?yàn)橹桓淖兞泓c(diǎn)，那么只需要在SMC的分子上，改掉Cm兩端的等效電阻就可以了。

文獻(xiàn)中還考慮了第一級(jí)輸出電阻Ro1的影響，這樣考慮極點(diǎn)的時(shí)候Cm和Rm上就有電流了，所以表達(dá)式長這個(gè)樣子：

從表達(dá)式的結(jié)果看，Rm不能比Ro1同數(shù)量級(jí)，否則這個(gè)次級(jí)點(diǎn)就要降了，這...我覺得條件還是挺寬裕的......論文中說Rm要大于等于gmL，小于Ro1的十分之一。

除了加調(diào)零電阻外，文章還簡單提到了一些利用Buffer的補(bǔ)償辦法，比如用電壓buffer和電流buffer。從帶寬的角度來看，電流buffer的效果要明顯好于電壓buffer。我是這么理解的，同樣是阻擋了前饋通路，電流buffer還同時(shí)阻擋了Cp1和Cm的電壓反饋，使分壓消失，從而提升了局部反饋中環(huán)路增益的GBW。電壓buffer阻擋了CL和Cp1串聯(lián)Cm的電流反饋，使分流消失，但是Cm和Cp1串聯(lián)分走的電流并不大，所以帶寬提升的效果不明顯，所以電流buffer的帶寬要更大，關(guān)鍵在于它去掉了更大的無源反饋。

然而，Ivanov在他的書中提到，加buffer的好處是有限的，因?yàn)檫@個(gè)buffer的性能很難做到特別好，總會(huì)有個(gè)輸入電阻或者輸出電阻（如source follower或者common gate的1/gm電阻），從而導(dǎo)致了第三個(gè)極點(diǎn)的產(chǎn)生。這第三個(gè)極點(diǎn)也是環(huán)路增益的次級(jí)點(diǎn)，為保證穩(wěn)定性，這個(gè)極點(diǎn)又需要遠(yuǎn)離環(huán)路增益的GBW，那勢(shì)必需要更高的功耗——如此一來就很沒有意思，因?yàn)橹苯尤ヌ嵘齡mL也就是直接增加了功耗而已。

如此看來，直接加入調(diào)零電阻真是簡單又實(shí)用的一個(gè)好選擇哇。

SMC Using MZC(Multipath Zero Cancellation)

所謂Multipath，就是說有多個(gè)前向通路，它的想法是：零點(diǎn)不就是因?yàn)榍跋蛲返碾娏鲉幔医o個(gè)大小相同方向相反的電流把它給補(bǔ)掉不就行了？

還是從局部反饋的觀點(diǎn)來看，這里的理想增益H∞還有局部反饋的環(huán)路增益T仍然和SMC中的情況一樣，關(guān)鍵是局部反饋的Tn不同，如果gmf=gm1，那這里的Tn就是0。

對(duì)比論文中的結(jié)果，是一致的。

論文中還說，在某些場(chǎng)合，CL固定的話，gmf1可以取得更大（α更大）以產(chǎn)生左零點(diǎn)去抵消掉次級(jí)點(diǎn)gmL/CL（因?yàn)镃L固定，次級(jí)點(diǎn)也是固定的），以得到更大的帶寬或者相同帶寬下有更小的面積。作者又提到在這種情況下Cm必須遠(yuǎn)大于Cp1，建議十倍以上，這樣Cp1和Cm1分壓為1的近似才成立。

NMC(Nested Miller Compensation)

Nested中文譯過來叫“嵌套”，NMC就是嵌套米勒補(bǔ)償。

跟SMC的思路相同，目的都是把它弄成一階近似，那就還是盡量往積分器上靠咯。用局部反饋的觀點(diǎn)來看，把內(nèi)部放大器gm2、gmL、以及放大器內(nèi)部的補(bǔ)償電容Cm2看成一個(gè)整體的放大器，只不過這個(gè)放大器又近似是一個(gè)積分器，這個(gè)積分器里頭還有一個(gè)放大器gmL通過負(fù)反饋Cm2來維持積分器中積分器的近似。

用局部反饋的觀點(diǎn)來看，這里依次插入兩個(gè)測(cè)試的源：

視gm2形成的環(huán)路為局部反饋，視gmL在gm2環(huán)路中的環(huán)路為局部反饋中的局部反饋?？梢圆捎肵.X的形式表示第二層局部反饋的在第一層局部反饋中的表達(dá)式。如T.T表示在計(jì)算gm2的零輸入返回比時(shí)，gmL的零輸入返回比；T.Tn表示在計(jì)算gm2的零輸入返回比時(shí)，gmL的零輸出返回比；T.H就是T本身。

H∞仍然是積分器的表達(dá)式。

T這里就正好是SMC的傳遞函數(shù)，利用局部反饋可以算出結(jié)果（上面已經(jīng)計(jì)算過了）：

Tn的計(jì)算需要稍微列一點(diǎn)式子，但也非常好計(jì)算：

代入求得傳遞函數(shù)，通分化簡一下就是論文里這個(gè)形式

可以看到，由于T中含有第二層局部反饋帶來的右零點(diǎn)，一次項(xiàng)系數(shù)中會(huì)含有g(shù)mL-gm2，減gm2就是局部反饋的零點(diǎn)導(dǎo)致的，會(huì)提高H的次級(jí)點(diǎn)或者說T的GBW而引起不穩(wěn)定（其實(shí)也就是第一層局部反饋的相位裕度減?。?/p>

假設(shè)極點(diǎn)分離，且gmL遠(yuǎn)大于gm2，可以得到GBW和兩個(gè)極點(diǎn)分別為

gm1/Cm1、gm2/Cm2、gmL/CL

這三個(gè)點(diǎn)怎么放有不同的說法，這篇文章里說用二分之一四分之一的關(guān)系，造復(fù)極點(diǎn)出來（巴特沃斯濾波器的形式）。Ivanov則說用三分之一九分之一，更穩(wěn)定。

不管怎么說，最外層的GBW總是要比gmL/CL小很多，四分之一甚至九分之一，意味著多級(jí)的穩(wěn)定性是有帶寬代價(jià)的，因?yàn)橐患?jí)的GBW就直接是gmL/CL。

由于分母上假定了gmL遠(yuǎn)大于gm2，這里的Cm1和Cm2就很小，分子上Cm2帶來的右零點(diǎn)就不明顯，給相位裕度帶來的影響可以忽略。

NMCNR(NMC with Nulling Resistor)

同樣為了補(bǔ)這個(gè)右零點(diǎn)，NMCNR在Cm2旁邊加了一個(gè)調(diào)零電阻Rm。表達(dá)式非常復(fù)雜，不去細(xì)推了，但是大概還是差不多的原理。分母依舊存在gmL-gm2，這是因?yàn)門的輸出位置變了，Rm并不能補(bǔ)掉T的零點(diǎn)。

從Vout置零的角度看電容，gmL的電流全部流過Rm，Rm=gmL使得Cm2上的壓降為0，因此Cm2不會(huì)導(dǎo)致零點(diǎn)。這也說明此時(shí)gm2的柵電壓為0，Cm1的壓降就是Rm的壓降，所以Cm1看到的等效電阻就是Rm。

至于為什么不把Cm1的右端連到Rm的右端，這個(gè)就不太清楚了。。。這個(gè)調(diào)零電阻應(yīng)該還有別的補(bǔ)法，可能還有些細(xì)微的tradeoff，而作者他覺得這個(gè)效果好。

補(bǔ)掉這個(gè)零點(diǎn)最大的好處就是省面積，因?yàn)橐_(dá)到相同的相位裕度的話，極點(diǎn)就可以靠gmL/CL近一點(diǎn)，Cm可以略小一些。文章里舉例：若NMC的Cm1是99pF，那么NMCNR只需要63pF就可以了，它將模塊的面積從0.23mm^2減小到0.18mm^2。

MNMC(Multipath NMC)

NMC的一個(gè)毛病就是：GBW、次級(jí)點(diǎn)和第三極點(diǎn)的間隔是必須的，有人就想了這么個(gè)辦法，說能不能搞個(gè)零點(diǎn)把次級(jí)點(diǎn)抵消掉，這樣GBW就可以離第三極點(diǎn)gmL/CL更近了嘛?；蛘邠Q一個(gè)說法，1//T降下去的時(shí)候，1//Tn也同步降下去，這樣雖然T在0dB以下，依然可以維持住理想傳遞函數(shù)（積分器形式）的成立。

可以看到，這里僅僅是多加了一路gmf1，對(duì)于極點(diǎn)沒有影響（零輸入，gmf1就不起作用了）。但是，gmf1改變了零點(diǎn)。像論文中這么理想的表達(dá)式，僅建立在gmL返回比很大的基礎(chǔ)之上——計(jì)算gm2的零輸出返回比時(shí)，gmL的柵極虛地，則Cm2上沒有電流，gmf1出來的電流全部跟gm2的抵消，得到Vin，再乘以gm1和1/sCm1就得到了返回的電壓。

重新仔細(xì)計(jì)算一下Tn，實(shí)際上這里的表達(dá)式應(yīng)該為（記α=gmf1/gm1）

上面這個(gè)不理想的項(xiàng)跟gmL有關(guān)，因?yàn)橐a(bǔ)的這個(gè)極點(diǎn)位置在gm2/Cm2處，那么就需要gmL/Cm2遠(yuǎn)大于gm2/Cm2，也就是gmL>>gm2。

文獻(xiàn)中給的一種設(shè)置方法是gm2/Cm2=0.1gmL/CL，這么設(shè)是為了使第三極點(diǎn)更遠(yuǎn)。從局部反饋很好理解：將T的GBW放低會(huì)降低閉環(huán)的Q值，也就是提升了第三個(gè)極點(diǎn)，但是GBW太低，提升也有限，反而極零對(duì)的影響更大了。注意到這里Cm2就比之前的設(shè)置方法要大（但是Cm1會(huì)比之前?。⑶視?huì)降低擺率。為提升擺率，可以采用加射極電阻的方法。

文獻(xiàn)中還提到，這里的GBW可以設(shè)在大約gmL/CL一半的位置，比前面提到的四分之一大得多，但是會(huì)引入GBW內(nèi)的極零對(duì)，對(duì)時(shí)域的settling time有較大影響。

NGCC(Nested Gm-C Compensation)

其實(shí)就是MZC的推廣：跟所有的Tn說拜拜。

若gmf1=gm1，gmf2=gm2，則這里的Tn=0，T.Tn=0。所以，H沒有零點(diǎn)，T也沒有零點(diǎn)，也就是說分母上沒有g(shù)mL和gm2相減。傳遞函數(shù)就非常簡單了，具體為：

如此一來分母就變得穩(wěn)定多了，不再需要gmL>>gm2的假設(shè)，對(duì)于低功耗設(shè)計(jì)是好事（論文作者在SMC中闡釋了gm1<<gmL的壞處）。

NMCF(NMC with Feedforward Gm Stage)

然而文章又提到，并不是所有的零點(diǎn)都需要補(bǔ)償?shù)舻模罅泓c(diǎn)反而還有利于相位裕度。主要是Cm2這里的右零點(diǎn)影響較大，需要補(bǔ)償。

NMCF就是NGCC的一個(gè)變化，去掉了gmf1，且使gmf2更大，以生成左零點(diǎn)。

NMCF的T等于MZC的H：

Tn也很容易得到

通分化簡得到H

這里kg=gm2/gmL，m=gmf2/gm2，顯然m大于1，kg小于1

關(guān)于極點(diǎn)的分布，論文這里依然采用了巴特沃斯濾波器的形式，比較分母二次多項(xiàng)式的系數(shù)，得到這兩個(gè)條件：

很明顯Cm1和Cm2都要比NMC中的更小

DFCFC(Damping-Factor-Control Frequency-Compensation)

所謂的“Damping factor”，指的是分母二次多項(xiàng)式的阻尼系數(shù)，控制這個(gè)東西也就是控制局部反饋的環(huán)路增益T的GBW和次級(jí)點(diǎn)的關(guān)系。DFCFC是針對(duì)大電容負(fù)載下，gmL很難用ID進(jìn)一步提升的情況。之前的NMC類補(bǔ)償，我們知道T的GBW不可能超過gmL/CL，不然就不穩(wěn)定了。于是這里的問題就變成了——如何在gmL有限的情況下，采用別的方法，盡可能提高局部反饋的GBW。

這里采用了一個(gè)DFC器件，特點(diǎn)是低頻開路，高頻低阻像二極管，因?yàn)槲覀冎豢紤]高頻情況下的補(bǔ)償技術(shù)，所以就認(rèn)為它是個(gè)二極管就好了：

利用這個(gè)高頻下的二極管，這里給出了兩種增大環(huán)路增益帶寬的方法，兩種方法由于都是間接提高帶寬，而不是直接提高gmL，所以還得另外提升最后一級(jí)的壓擺率，加了一個(gè)前向通路（此前向通路不是為了補(bǔ)償零點(diǎn)）。

DFCFC1(增益控制)

第一種方法，將二極管電阻接在局部反饋的第一級(jí)放大器（gm2）后面，降低第一級(jí)的增益，同時(shí)展寬第一級(jí)的帶寬。此時(shí)電路的行為就像SMC了，SMC中的gmL變成了這里的gm2/gm4*gmL+gmf2，因?yàn)橛性鲆鎔m2/gm4，這里的帶寬就比原來的gmL大一點(diǎn)。限制帶寬的因素變?yōu)榱藳Q定T次級(jí)點(diǎn)的gm4和Cp2（gm2輸出節(jié)點(diǎn)的總電容）。

T=(gm2/gm4*gmL+gmf2)/sCL/(1+sCp2/gm4)

如果先不看gmf2，在局部反饋T中，GBW隨著gm4增大而減?。╣m2這一級(jí)的增益與gm4成反比），而局部反饋的次級(jí)點(diǎn)gm4/Cp2隨gm4的增大而增大。gm4為0的時(shí)候，閉環(huán)1//T是兩個(gè)復(fù)極點(diǎn)；gm4很大的時(shí)候，1//T是兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)。

于是可以畫出下面的根軌圖（箭頭表示gm4增大過程中的閉環(huán)根軌）：

所以gm4從0到無窮大的過程中，會(huì)使極點(diǎn)分離。加入gmf2后，趨勢(shì)也是差不多的，這里作者設(shè)gmf2=gmL。按巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)，可以算出gm4的合理值，這也是文章里說的優(yōu)化方法。

具體解這個(gè)方程就可以了：

得到gm4的值為

還是按三階巴特沃斯濾波器的形式，最后得GBW為

很明顯看到，GBW已經(jīng)超過了gmL/CL的限制。

DFCFC2（一階高通濾波）

第二種方法，采用高通濾波，將DFC這個(gè)二極管電阻和Cm1串在一起，使T的環(huán)路多出一個(gè)一階高通的環(huán)節(jié)。本來兩級(jí)級(jí)聯(lián)的下降速率是-40dB/dec，加了個(gè)高通之后，前半部分就是-20dB/dec，只要濾波的拐點(diǎn)在T的GBW外，那就能保證穩(wěn)定。

還是忽略gmf2來計(jì)算環(huán)路增益

可以明顯看到，這個(gè)高通濾波的拐點(diǎn)越往后，極點(diǎn)分離現(xiàn)象越明顯。

考慮gmf2進(jìn)去，得到表達(dá)式：

使gmf2=gmL，以同樣的方法解得合適的gm4、Cm1、gm1：

最終GBW的表達(dá)式也可以寫出來。

總結(jié)

各補(bǔ)償方法的參數(shù)取值：

各三級(jí)運(yùn)放補(bǔ)償方法相對(duì)于NMC的優(yōu)劣