以COMSOL為例淺談“網(wǎng)格獨立性驗證”

作者：極度喜歡上課

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? ? ? ? 絕大多數(shù)微分方程組是無法得到解析解的，因此有限元軟件采用的都是數(shù)值求解方法（迭代計算）來計算所需求解物理場相關微分方程組的數(shù)值解。但是數(shù)值求解方法作為一種近似求解方法，其計算準確度受多方面因素影響，網(wǎng)格的劃分就是其中一個重要的影響因素。驗證網(wǎng)格與數(shù)值計算結(jié)果無關的過程就是“網(wǎng)格獨立性驗證”，又稱為“網(wǎng)格無關性驗證”或“網(wǎng)格可靠性驗證”。

? ? ? ? 需要注意的是，嚴格意義上的“網(wǎng)格獨立性驗證”不單單需要驗證網(wǎng)格疏密與計算結(jié)果無關，還要驗證網(wǎng)格劃分方向性，網(wǎng)格拓撲劃分方式，網(wǎng)格形狀等等因素與計算結(jié)果無關。但是由于“網(wǎng)格獨立性驗證”的工作量通常較大，且隨著經(jīng)驗的積累，現(xiàn)有的有限元軟件的網(wǎng)格劃分技術(shù)已經(jīng)能普遍適應大多數(shù)模型的分析需求，所以現(xiàn)在大家在仿真類型論文上看到的“網(wǎng)格獨立性驗證”通常集中在分析網(wǎng)格的疏密程度與計算結(jié)果的關系上，甚至可能沒有“網(wǎng)格獨立性驗證”。

? ? ? ? 本文基于COMSOL官方案例“穩(wěn)態(tài)傳導傳熱-二維”[1]詳細為大家講一下通用的“網(wǎng)格獨立性驗證”過程，即網(wǎng)格疏密與計算結(jié)果無關的驗證過程。此案例取自 NAFEMS 標準集，已經(jīng)實驗驗證。如圖1所示為模型的幾何示意圖，模型整體為長0.6米高1米的矩形，所涉及的物理場只有固體傳熱。邊界條件：左邊界為絕緣；下邊界處的溫度為 100攝氏度；上邊界和右邊界與0攝氏度發(fā)生對流傳熱，傳熱系數(shù)為 750 瓦每平方米攝氏度。

? ? ? ? 由于案例的幾何結(jié)構(gòu)為矩形，因此可以采用映射網(wǎng)格進行劃分，如圖2所示，所劃分的網(wǎng)格質(zhì)量相當高。

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? ? ? ? 根據(jù)NAFEMS 標準集的數(shù)據(jù)，穩(wěn)定狀態(tài)下目標位置（x = 0.6 m，y = 0.2 m）處的標準溫度為18.25攝氏度。如圖3所示，采用穩(wěn)態(tài)求解器計算所得的案例目標位置（x = 0.6 m，y = 0.2 m）的結(jié)果為18.265攝氏度，與NAFEMS 標準集的數(shù)據(jù)僅相差0.08%，COMSOL計算所得的數(shù)據(jù)已非常接近實驗值。

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? ? ? ? 在COMSOL官方案例設置的基礎上，如圖4所示，引入?yún)?shù)“a_1”用于控制網(wǎng)格大小。并在研究1中添加“參數(shù)化掃描”，用于分析a_1為1、2、4、8、16、32時案例的結(jié)果，如圖5所示。

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? ? ? ? 如圖6所示為不同a_1取值下計算所得目標位置（x = 0.6 m，y = 0.2 m）的溫度，從圖中可以獲得2條較為有用的信息：1、隨著網(wǎng)格的細化，COMSOL的計算結(jié)果趨勢上越來越接近NAFEMS 標準集的數(shù)據(jù)，也就是計算得越準確；2、當a_1取4、8、16和32時計算所得的結(jié)果已沒有太大變化，因此繼續(xù)加密網(wǎng)格對COMSOL計算準確性的提高已無明顯幫助。因此分析下來，在計算本文的案例時建議采用a_1為4時的網(wǎng)格進行計算。（需要值得注意的是：本文用于演示的案例本身較為簡單且計算量也小，因此可以將a_1取值為32，當計算復雜一點模型的時候，建議大家根據(jù)計算電腦的性能選取合適的a_1的值的范圍。）

? ? ? ? 本文主要是想給大家起到一個拋磚引玉的效果，各位同學在用有限元軟件的時候需要選擇合適的網(wǎng)格劃分方法和網(wǎng)格數(shù)量，用較低的計算成本獲得盡可能理想的結(jié)果。在進行“網(wǎng)格獨立性驗證”的時候一定要從模型本身的實際情況出發(fā)，說句“功利性”的話，如果你是學生，請以導師的意見為準，如果你正在投稿，請以審稿人的意見為準。

? ? ? ??本人于2023年6月17日舉辦第八次COMSOL網(wǎng)課，涉及傳熱、相變和論文復現(xiàn)等內(nèi)容，以下是課程提綱，歡迎大家添加QQ：2905126697咨詢報名。

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參考資料

[1]https://cn.comsol.com/model/steady-state-2d-heat-transfer-with-conduction-265