一些證明還不熟，因此這條評論寫詳細(xì)點。

環(huán)同構(gòu)定理（群同構(gòu)定理升級版）、理想

環(huán)同構(gòu)第一定理。

證明思路和群同構(gòu)第一定理思路一致。設(shè)f (tilde)(a+kerf)=f(a)。在群同構(gòu)第一定理的證明過程中已經(jīng)證明f(tilde)是良定義，且f(tilde)是加法下的群同構(gòu)。因此要證明f (tilde)是環(huán)同構(gòu)，只需證明f (tilde)對乘法是幺半群同態(tài)，而這只需要利用 f 在乘法下幺半群同態(tài)的兩條性質(zhì)。

環(huán)同構(gòu)第二定理。

①證S+I＜R

先證明(S+I,+)是子群?？衫靡韵氯龡l結(jié)論中任意一條：

（?。┤鬑，K＜G，則HK＜G?HK=KH。

（ⅱ）正規(guī)子群與子群的運算仍是子群。（在群同構(gòu)定理那節(jié)詳細(xì)證明了，很巧妙，利用正規(guī)性，把h??1“藏”進(jìn)N）

（ⅲ）群G的兩個正規(guī)子群的運算仍是正規(guī)子群。

（其實本質(zhì)上就是阿貝爾群中的兩個子群加起來是(正規(guī))子群）

然后證明(S+I,·)是子幺半群。含乘法單位元用吸收律易證?，F(xiàn)證明(S+I,·)封閉，思路：證明群(G,·)封閉的一個辦法是證明GG=G（根據(jù)GG的定義）

②S∩I?S

子群的交是子群

吸收律用集合間運算形式及I的吸收律證明

③I?S+I

先證明(I,+)＜(S+I,+)。①中已經(jīng)說明(S+I,+)是子群，I是子群已知，包含關(guān)系顯然。

再證明吸收律。顯然。（S+I?R）

④S/(S∩N)≌(S+I)/I

群同構(gòu)第二定理已證明f良定義，f滿射，f在加法下構(gòu)成群同態(tài)，kerf=S∩I。

于是只需證f在乘法下是幺半群同態(tài)，就能補齊f環(huán)同態(tài)，從而補齊環(huán)同構(gòu)第一定理的條件。

環(huán)同構(gòu)第三定理。

①順帶證明一下J/I?R/I

首先證明(J/I,+)＜(R/I,+)。因為I在加法下有正規(guī)性。

接著證吸收律。根據(jù)商環(huán)里乘法的定義，(R/I)(J/I) = RJ/I ? J/I；(J/I)(R/I) = JR/I ? J/I。

②證明(R/I)/(J/I)≌R/J

令f(a+I)=a+J。f良定義、f滿射、f加法下是群同態(tài)、kerf=J/I跟之前思路完全一致。

補充兩條證明幺半群同態(tài)，使得f環(huán)同態(tài)成立。所以符合環(huán)同構(gòu)第一定理條件。

理想開頭。

1.定義由A生成的理想(A)。

2.證明(A)＜R。證明思路同前。

3.定義主理想和有限生成理想。（在交換環(huán)中討論）