? ? ? 在實(shí)際問(wèn)題中，很多變量隨時(shí)間、空間變化。和公式相比，曲線作圖、動(dòng)畫(huà)在展示上更直觀清晰，也有助于我們對(duì)物理過(guò)程的理解。這里舉一維、二維的案例來(lái)說(shuō)明。

（1）? 正弦函數(shù)和泰勒展開(kāi)近似

? ? ? ?從展開(kāi)式看，正弦函數(shù)的不同階近似需要計(jì)算冪函數(shù)和階乘。在Octave中，計(jì)算階乘可用函數(shù)prod(1:N)，對(duì)應(yīng)N!? x是1維數(shù)組時(shí)，計(jì)算乘法和冪次需要用., 比如x.^5是對(duì)應(yīng)x的每個(gè)分量都是5次方。對(duì)應(yīng)程序中前7行是直接用plot函數(shù)畫(huà)曲線并標(biāo)記x、y軸，第8行hold on是保持不同曲線在同一張圖，第9行的y2是1階近似，第10行到第13行是根據(jù)求和公式不斷增加項(xiàng)并畫(huà)圖，最后一行是設(shè)置圖的x、y方向最小值、最大值。

（2）?曲線平移和旋轉(zhuǎn)

? ? ? 對(duì)于圓、橢圓等閉合曲線，我們不能按照顯式函數(shù)的方法來(lái)作圖，比較方便的方法是借助參數(shù)方程。下面程序的第二、三行就是單位圓的畫(huà)法。第四行生成橢圓的橫、縱坐標(biāo)，并保存在矩陣XY中，通過(guò)矩陣加法將中心移到指定的[x_0;y_0]，或者根據(jù) R 的矩陣乘法實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)。

? ? ? ?在循環(huán)中加入data(:,i)=getframe; hold off 語(yǔ)句可以保存每次的圖，并逐幀連續(xù)播放得到動(dòng)畫(huà)，對(duì)應(yīng)的語(yǔ)句是 movie(data,1)。具體效果參考視頻講解。

（3）? 二維顯示

? ? ? ? 在波的干涉模擬中，我們要注意image函數(shù)的用法，可以將0到60的數(shù)據(jù)用不同顏色顯示。這里y_1+y_2的最大值、最小值分別為2、-2，我們用了image((z+2)*15)。phase1和phase2對(duì)應(yīng)平面各點(diǎn)到兩個(gè)波源的相位差，數(shù)值為負(fù)時(shí)，說(shuō)明振動(dòng)沒(méi)有傳播到，就用phase1>0實(shí)現(xiàn)類似階躍函數(shù)的效果。動(dòng)圖效果參考視頻。norm([a b])返回是a、b的平方和開(kāi)根號(hào)，對(duì)應(yīng)的是計(jì)算距離。

程序附錄：

A. 正弦函數(shù)和多項(xiàng)式近似

clear

x=linspace(0,2*pi);

y=sin(x);

plot(x,y,'.')

xlabel('x')

ylabel('y')

legend('y=sin(x)')

hold on

y2=x;

for i=1:7

? ?plot(x,y2)

? ?y2=y2+(-1)^i*x.^(2*i+1)/prod(1:2*i+1);

end

axis([0 2*pi -1 1])

B. 振動(dòng)合成和莉薩如圖形

clear

t=linspace(0,10,300);

w_1=3;w_2=3;

x=cos(w_1*t);

subplot(2,3,1)

dphi=pi/4;

y=cos(w_2*t+dphi);

plot(x,y)

axis equal

subplot(2,3,2)

dphi=pi/2;

y=cos(w_2*t+dphi);

plot(x,y)

axis equal

subplot(2,3,3)

dphi=3*pi/4;

y=cos(w_2*t+dphi);

plot(x,y)

axis equal

C. 圓和橢圓

clear

t=linspace(0,2*pi,101);

a=cos(t)/5;b=sin(t)/3;

for i=1:length(t)

? r=[cos(t(i)) -sin(t(i)); sin(t(i)) cos(t(i))];

? XY=[a;b];

? XY=r*XY+[cos(t(i)); sin(t(i))];

? plot(XY(1,:),XY(2,:),'b')

? hold on

? plot(cos(t),sin(t),'r')

? axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

? axis equal

? data(:,i)=getframe;

? hold off

end

movie(data,1)

D. 波的傳播

clear

N=101;c=(N+1)/2;z=zeros(N,N);t=linspace(0,2);

for k=1:length(t)

? ?for i=1:N

? ? ?for j=1:N

? ? ? ?phase=15*t(k)-norm([i-c j-c])/2;

? ? ? ?z(i,j)=cos(phase)*(phase>0);

? ? ?end

? ?end

? image((z+1)*30); colormap(jet)

? axis equal;? data(:,k)=getframe;

end

movie(data,1)

E.? 波的干涉

clear

N=101;c=(N+1)/2;z=zeros(N,2*N);t=linspace(0,3);

for k=1:length(t)

? ?for i=1:N

? ? ?for j=1:2*N

? ? ? ?phase1=15*t(k)-norm([i-c j-1.75*c])/2;

? ? ? ?phase2=15*t(k)-norm([i-c j-2.25*c])/2;

? ? ? ?z(i,j)=cos(phase1)*(phase1>0)+cos(phase2)*(phase2>0);

? ? ?end

? ?end

? ? image((z+2)*15);? colormap(jet);

? ? axis equal;? data(:,k)=getframe;

end

movie(data,1)