非高斯信號(hào)通過線性系統(tǒng)：

注意，高階累積量可以消除高斯信號(hào)。

系統(tǒng)輸出x( ) n 等于輸入與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積

根據(jù)累積量的定義和性質(zhì)，可得

再回憶一下累積量的定義：

利用累積量的定義，可得

這一公式描述了系統(tǒng)輸出信號(hào)的累積量，輸入信號(hào)的 累積量和系統(tǒng)沖激響應(yīng)之間的關(guān)系 進(jìn)行傅立葉變換，可得

此描述 系統(tǒng)輸出信號(hào)的高階譜 此描述了系統(tǒng)輸出信號(hào)的高階譜，輸入信號(hào)的高階譜 和系統(tǒng)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系 進(jìn)行Z變換，可得

上述三個(gè) 是 式子最早 由Bartlett得到的，不過他只考慮 了k=2,3,4的情況，后來，Brillinger與Rosenblatt把這 三個(gè)公式推廣到任意階 個(gè)公式推廣到任意階，因此，這 個(gè)式子稱為 三 Bartlett- Brillinger-Rosenblatt公式，簡(jiǎn)稱BBR公式 特別的，當(dāng)系統(tǒng)的輸入e(n)為獨(dú)立同分布的高階白噪 聲時(shí)，BBR公式為

k=2,3,4時(shí)的BBR公式經(jīng)常使用，方便起見，列寫如下

這里的r2e,r3e,r4e分別表示方差、偏度與峰度，其實(shí)就是二階矩、三階矩和四階矩。

上述證明好像并不復(fù)雜，只需要把y信號(hào)看作是非高斯噪聲激勵(lì)而來的就可以了。