前置知識

法線貼圖，圖形學(xué)，向量運算，導(dǎo)數(shù)等

算法

先不去想如何從一張紋理去生成法線，因為圖片是一個二維的存儲結(jié)構(gòu)，處理起來的話會比較復(fù)雜，寫成方程的形式則是 f(u,v) = pixel color?

我們進(jìn)行一個降維處理，假設(shè)我們現(xiàn)在有段曲線，f(x) = y，這樣變量就變?yōu)橐痪S的了。那么對于一個曲線，我們?nèi)绾潍@取曲線一個點上的法線呢，自然可以想到對該函數(shù)求一階導(dǎo)，因為某個點一階導(dǎo)的結(jié)果為過這個點切線的斜率，那么該點的法線的斜率與切線的斜率乘積?，F(xiàn)在我們知道點，知道斜率，自然可以求得法線的方程。

擴展到二維的話，也是同理，先對一個點的一個方向求出法線，再對另一個方向求出法線即可。但是！我們既然在這個過程中會求得兩個切線，那直接做一個叉乘即可獲得垂直于這兩個向量的第三個向量，即是法線，所以思路就清晰了。

求切線->算法線

但是按這個思路對一張紋理進(jìn)行運算會有一個問題，那就是紋理儲存的是RGB值，這個值和法線是沒有關(guān)系的，所以我們需要一張描述該紋理的高度圖，然后用該高度圖去求法線向量。

那沒有高度圖怎么辦呢，那就用一個神奇的公式，獎圖片轉(zhuǎn)為灰度圖（不要問我這個公式怎么來的，只能說基于經(jīng)驗）

代碼如下

看看效果

求切線

有了高度圖之后就要求切線了。因為一張圖是由許多個像素點組成的，所以是離散的，那么就需要用到導(dǎo)數(shù)的證明過程那個極限的寫法了。

但是在實際計算中，我們要的是切線向量，而這個求的是斜率，不是我們想要的。那么切線向量怎么構(gòu)造呢，回到一維的情況，假設(shè)我們有切線方程?，那么切線向量則是。

那么回到二維的情況，我們也可以分別對x, y去進(jìn)行一個切線向量的構(gòu)造

獲得這兩個向量后進(jìn)行一個叉乘便可獲得法線向量了。代碼如下

代碼中有幾個要注意的點，首先是生成法線的函數(shù)，多了兩個參數(shù)分別來scale采樣的步長和高度。步長好理解，控制生成法線的精度。那為什么需要高度的scale系數(shù)呢，因為對圖片進(jìn)行采樣的時候，我們所選取的步長是非常小的（1/1024），但是高度差卻很大（最大可能到1.0），這是遠(yuǎn)大于的，這就會導(dǎo)致切線向量過于接近Z軸，計算出來的法線x,y的值就很大了，所以需要引入一個scale系數(shù)來進(jìn)行高度差的縮放。

最后將處于（-1，-1，-1）到（1，1，1）的法線轉(zhuǎn)化到（0，0，0）到 （1，1，1）的空間下