我們都知道（其實(shí)都不知道才正常）勒讓德(legendre)多項(xiàng)式，它的基本表達(dá)式是這樣的：

從圖像上看，它是一個(gè)類似正弦函數(shù)的波動(dòng)函數(shù)。

勒讓德函數(shù)是怎么來的，又是干什么用的呢？

首先介紹一下Helmholtz方程。它是穩(wěn)態(tài)方程的其中一種。

上次我們介紹了熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)

什么叫穩(wěn)態(tài)呢，就是說系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到了穩(wěn)定，不再隨事件發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)方程的自變量是沒有時(shí)間項(xiàng)的，只有空間分布。

那么Helmholtz方程是怎么來的呢？這就又要介紹一下波動(dòng)方程，所以我們這次就不說了

Helmholtz方程在不同正交坐標(biāo)系下有不同的形式

在球坐標(biāo)系下，

由投影得到它和直角坐標(biāo)的變換關(guān)系：

它是這樣的：

對(duì)該方程進(jìn)行分離變量法，得到三個(gè)獨(dú)立方程：

我們經(jīng)過分離變量法，把和有關(guān)的項(xiàng)單獨(dú)分離為一個(gè)方程，這個(gè)方程就是連帶Legendre方程。

如果μ=0，方程就變?yōu)榱撕唵涡问?，這個(gè)就是Legendre方程

Legendre方程的解就是Helmholtz方程中θ分量方程的解。

因?yàn)閷?dǎo)出Legendre方程的解涉及知識(shí)過于復(fù)雜，我就直接給結(jié)論了

用這個(gè)方程算一下前幾個(gè)階勒讓德多項(xiàng)式是什么：

隨便拿幾個(gè)看看

用matlab怎么畫呢？

matlab非常貼心的給了連帶勒讓德的計(jì)算函數(shù)

P=legendre(n,X);

n是剛才的階數(shù)，X是輸入的自變量。

它會(huì)生成m=0,1,2,...,n級(jí)的連帶勒讓德函數(shù)，勒讓德函數(shù)就是0級(jí)。

例如我們畫5階勒讓德函數(shù)：

x=-1:0.001:1;

?y=legendre(5,x);

plot(x,y(1,:));%第一行就是0級(jí)的結(jié)果

總之你就把勒讓德函數(shù)當(dāng)作是正弦函數(shù)一樣的東西就行啦！它也是一個(gè)波動(dòng)函數(shù)，并且具有一些有用的性質(zhì)，可以作一些方程的解。只不過它沒正弦函數(shù)那么簡單直觀。