預(yù)備知識(shí)：

1. 良序公理（the well-ordering property）：每個(gè)非空的正整數(shù)集合都有一個(gè)最小元；

2. 用加粗字母AB表示向量，用正常字母AB或者符號(hào)|AB|表示向量AB的長度；

3. 數(shù)環(huán)：如果非空數(shù)集R中任二數(shù)的和、差、積均仍屬于R，則稱R是一個(gè)數(shù)環(huán)。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析教程》（常庚哲 史濟(jì)懷）

2. 《初等數(shù)論及其應(yīng)用》（Kenneth H.Rosen）

3. 《繞來繞去的向量法》（張景中 彭翕成）

4. 《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子旭 編）

老碧最感興趣的其實(shí)是一道題從題干到結(jié)論建立邏輯的過程，所以，會(huì)拿一些例題作為示例，把思路解析放在下面，當(dāng)然，覺得沒有耐心的朋友，也可以只看題。

學(xué)數(shù)學(xué)有一個(gè)比較簡單但是辛苦的打基礎(chǔ)方法，就是把例題逐字背誦。

不要小瞧這種辦法，我們知道學(xué)習(xí)外語最好的狀態(tài)是不假思索，脫口而出，但是你問他語法邏輯，他可能也說不清楚，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課包括題目，本質(zhì)上依然是技巧思路的積累過程，如果真的背的夠多，許多邏輯環(huán)節(jié)就是一個(gè)程序化的過程，你還在糾結(jié)A為啥能推到B的時(shí)候，別人覺得A到C是顯然的。這種辦法唯一的缺陷可能就是能學(xué)不能教，教別人的時(shí)候，別人問幾個(gè)為什么，你只能回答，這不是很明顯嗎？但是對(duì)個(gè)體發(fā)展來說，沒有壞處。

這種辦法雖然好操作，能吃得了這種苦的人，依然寥寥無幾，就好比，都知道背一兩本小說能夠把語言水平提到一個(gè)很高的水平，但是有幾個(gè)人能堅(jiān)持背完十頁書的。Lol~

老碧也是個(gè)渣渣，之所以提到這種方法，是因?yàn)?，在有限的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中，確實(shí)閉書回溯內(nèi)容會(huì)讓知識(shí)學(xué)習(xí)的質(zhì)量更高，只不過，老碧是一個(gè)ADHD晚期患者，即使知道這個(gè)辦法好，也沒有耐心長期堅(jiān)持，因?yàn)閼猩ⅰ?/p>

這就是一個(gè)有小聰明又有嚴(yán)格性格缺陷為什么會(huì)把一切事情都做得乏善可陳的根本原因，還是那句話，如果目標(biāo)僅僅是優(yōu)秀而不是杰出或者偉大，努力足矣。

而我們大多數(shù)人的追求，也不過是成為自己認(rèn)為最好的人，那么，在你認(rèn)為重要的事情上，無論是工作、學(xué)習(xí)、人際、情感，不斷反省，不斷修正，堅(jiān)持不懈，就好，只要在前進(jìn)著，起碼就確定人生沒有被荒廢，那么也就可以，無愧于心，這就夠了。

啰嗦了這么多，開始步入正題。

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析教程（常庚哲 史濟(jì)懷）》）：我們主要學(xué)習(xí)這種配湊的思路——

思路——

step1：破題，就是不管三七二十一，把題面能得到的信息，全部寫下來，越多越好，這個(gè)題干給出的條件是——

1. n不是完全平方數(shù)，則存在自然數(shù)m，m<n^（1/2）<m+1；——這個(gè)是一個(gè)需要記憶的細(xì)節(jié)，如果一個(gè)數(shù)a是實(shí)數(shù)，自然可以得到一個(gè)不等式存在自然數(shù)m，m<=a<m+1，如果a不是整數(shù)，即等價(jià)于不等式m<a<m+1；

2. 我們要證明n^（1/2）不是有理數(shù)，即要證明n^（1/2）=p/q，對(duì)任何自然數(shù)p、q不成立，一般還會(huì)說明p、q互質(zhì)；

3. 于是只要導(dǎo)出1、2同時(shí)成立的矛盾，即可證明。

step2：方法選擇——

1. 由step1.3可知，需要導(dǎo)出矛盾，自然會(huì)選擇反證法；

2. 這道題有兩種證法，這里采用無窮遞降法原因在于：

   a.史老師基本功特別6，有炫技成分，但是其實(shí)這本書的這道題解法還有更簡潔的寫法，

   b.方法二用到互質(zhì)的知識(shí)，是高等代數(shù)的內(nèi)容，在大學(xué)第二或第三個(gè)學(xué)期才開課，而這題出現(xiàn)在大一第一節(jié)課，保守估計(jì)，是有同學(xué)不了解互質(zhì)的知識(shí)的，所以，照顧基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備的思想，選擇了不超綱的證明方法， 同時(shí)開闊眼界，這是一個(gè)極度優(yōu)秀的教育工作者才能考慮到的事情。

step3：邏輯推演，起點(diǎn)就是step1里的那兩個(gè)式子，同時(shí)我們可以總結(jié)無窮遞降法的適用范圍——

1. 反證法，假設(shè)存在自然數(shù)p，q，n^（1/2）=p/q，即n=p^2/q^2，移項(xiàng)得，p^2=nq^2；

2. 由step1.1與step1.2可知，m<p/q<m+1，移項(xiàng)得，0<p-mq<q；

3. 下面建立1和2的聯(lián)系，即，我們要在1式中構(gòu)造出p-mq的結(jié)構(gòu)，同時(shí)要能得到p-mq和q的關(guān)系，1等式中q都在右邊，自然想到把p-mq乘到左邊，自然得到p（p-mq）=p^2-mpq=nq^2-mpq=q（nq-mp），即p/q=（nq-mp）/（p-mq）；

4. 由2,3，p-mq<q，則立刻推出nq-mp<p，令q1=p-mq，p1=nq-mp，得到新的p1/q1；

5. 上述操作理論上可以無限循環(huán)，那么就會(huì)得到兩列遞減的自然數(shù)列{pn}和{qn}，注意這兩個(gè)數(shù)集是沒有最小數(shù)的，與良序公理矛盾，故而得證。

習(xí)題：設(shè)自然數(shù)n不是完全立方數(shù)，那么n^（1/3）就不是有理數(shù)。

思路——

1. 假設(shè)存在互質(zhì)的自然數(shù)p，q，n^（1/3）=p/q，即n=p^3/q^3，移項(xiàng)得，p^3=nq^3；

2. 我們要得到一個(gè)q和待定式（*）的不等關(guān)系，滿足（*）<q，p/q=A/（*）=nq^2/p^2；

3. 由2，我們可以推知，存在自然數(shù)m，m<p^2/q<m+1，移項(xiàng)得0<p^2-mq<q；

4. 由1,3，p（p^2-mq）=p^3-mpq=nq^3-mpq=q（nq^2-mp）,即p/q=（nq^2-mp）/（p^2-mq）；

5. 余下由無窮遞降法得證。

解析幾何——

例題（來自《繞來繞去的向量法（張景中 彭翕成）》）——已AD是三角形ABC的中線，求證：AD<（AB+AC）/2。

思路：這道題比較有意思的是幾何直觀——

1. 向量法：AD=（AB+AC）/2；

2. 由1，|AD|=|（AB+AC）/2|<=（AB+AC）/2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線成立，故而AD<（AB+AC）/2。

3. 幾何直觀：就是以AB，AC為鄰邊的平行四邊形，兩鄰邊長度之和大于對(duì)角線長度。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子旭）》）——若數(shù)環(huán)R不是{0}，則R必為一個(gè)無限數(shù)集。

思路——

1. 復(fù)述定義：如果非空數(shù)集R中任二數(shù)的和、差、積均仍屬于R，則稱R是一個(gè)數(shù)環(huán)；

2. 由定義和題面可知，R包含非0元素a；

3. 則2a=a+a，3a=2a+a，……一切形如na的數(shù)都屬于R，n是自然數(shù)；

4. （這一步很重要！）如果m與n是不同的自然數(shù)，那么ma與na必然不相等，否則，若ma=na，a不為0，推得m=n，與m，n是不同自然數(shù)矛盾，所以R為無限數(shù)集。

今天先簡單到這里。