【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學叢書”系列17冊的基礎上又添加了1冊八五人教中學甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學生”很重要，以我的慘痛教訓為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學了個寂寞。另外大學物理的前置條件是必須有基礎微積分知識，因此我所讀院校的大學物理課是推遲開課；而比較生猛的大學則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學課）。我選擇在“自學叢書”17本的基礎上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第四章因式分解?

§4-8最低公倍式

【01】在算術里，我們也學過幾個整數(shù)的最小公倍數(shù)?，F(xiàn)在我們先來復習一下最小公倍數(shù)的意義和求法。

【02】一個整數(shù)，如果它能夠被另外的一個整數(shù)整除，就叫它做后一個數(shù)的倍數(shù)，例如 36 是 12 的倍數(shù)，36 也是 18 的倍數(shù)。幾個數(shù)共同的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，例如 36 是 12 和 18 的公倍數(shù)。幾個數(shù)的公倍數(shù)是很多的，例如 36 是 12 和 18 的公倍數(shù)，72 也是 12 和 18 的公倍數(shù)。在幾個數(shù)的所有公倍數(shù)里，最小的一個公倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如 36 是 12 和 18 的最小公倍數(shù)。

【03】要求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，要先把這兩個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)的連乘積，并把相同的質(zhì)因數(shù)寫成冪的形式，把兩個數(shù)的所有的不同質(zhì)因數(shù)（如果某些質(zhì)因數(shù)有冪的形式，要選取次數(shù)最高的）都選取出來，它們的連乘積就是所求的最低公倍數(shù)。

例1.求 12 和 18 的最小公倍數(shù)。

【解】12＝22·3，18＝2·32? ?！?12 與 18 的最小公倍數(shù)是 22·32＝36? 。

例2.求 96，192 和 288 的最小公倍數(shù)。

【解】96＝2?·3，192＝2?·3，288＝2?·32? 。∴?所求的最低公倍數(shù)是 2?·32＝576? 。

【04】類似地，如果一個整式 A 能夠被另一個整式 B 整除，那末 A 就叫作 B 的倍式。例如 x2－y2 能被 x－y 或者?x＋y?整除，所以?x2－y2?是?x－y?的倍式，也是?x＋y?的倍式。

【05】幾個整式共同的倍式，叫做這幾個整式的公倍式。例如，對于兩個整式 a2b 和 ab2 來說，下面的這些整式 a2b2，a2b3，a3b2，a?b2，a2b?，…都是它們的公倍式。

【06】在幾個整式的公倍式中，次數(shù)最低的一個整式，叫做它們的最低公倍式。例如?a2b2 是?a2b?和 ab2?的最低公倍式。

【07】求幾個整式的最低公倍式的方法，和算術里求幾個整數(shù)的最小公倍數(shù)的方法很相象，舉例說明如下。

例3.求－8x2y3z?，－12x3y2z，－2axy?z2 的最低公倍式。

【解】這三個式子都是單項式，已經(jīng)都是各個因式的連乘積的形式。

????????拿數(shù)字系數(shù)來說，8，12，2 的最小公倍數(shù)是23·3＝24? 。（負號通常不要選入，因為沒有負號也可以整除）

????????對于字母 a，x，y，z 各取最高的冪，是 ax3y?z?? ?！?這三個代數(shù)式的最低公倍式是 24ax3y?z?? 。

例4.求 (a2－b2)2，(a3＋b3)(a3－b3)，a(b＋a)3 的最低公倍式。

【解】分解各個式子成因式：

????????(a2－b2)2＝[(a＋b)(a－b)]2＝(a＋b)2(a－b)2；

????????(a3＋b3)(a3－b3)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)(a－b)(a2＋ab＋b2)；

????????a(b＋a)3＝a(a＋b)3? 。

????∴ 最低公倍式是?a(a＋b)3(a－b)2(a2－ab＋b2)(a2＋ab＋b2)? 。

例5.求 x2＋y2，y2－x2，x3－y3 的最低公倍式。

【解】分解因式：

????????x2＋y2＝x2＋y2；

????????y2－x2＝－(x2－y2)＝－(x＋y)(x－y)；

????????x3－y3＝(x－y)(x2＋xy＋y2)? 。

????∴ 最低公倍式是 (x2＋y2)(x＋y)(x－y)(x2＋xy＋y2)? 。

【說明】x2＋y2 與 x＋y 不同，不要把 x2＋y2 當作?(x＋y)2? 。

習題4-8

求下列各式的最高公因式及最低公倍式：

【答案】