《幾何原本》命題2.9【夸克歐氏幾何】
命題2.9：
如過先將一條線段等分，又將其分成不相等的兩段，那么兩條不等線段上的正方形之和，等于原線段一半上的正方形與兩個分點之間一段上的正方形之和的二倍
求證：S正方形AD2+S正方形BD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
解：
過點C作CE⊥AB
（命題1.11）
在CE上截CE=AC
（命題1.3）
連接AE，BE
（公設(shè)1.1）
過點D作DF∥CE，與BE交點記為點F
（命題1.31）
過點F作FG∥AB
（命題1.31）
連接AF
（公設(shè)1.1）
證：
∵CE=AC
（已知）
∴∠EAC=∠AEC
（命題1.5）
∵CE⊥AB
（已知）
∴∟ACE，∟ECB是直角
（定義1.10）
∵△ACE中，∠EAC+∠AEC+∟ACE=兩直角
（命題1.32）
∴∠EAC+∠AEC=一個直角
（公理1.3）
∴∠EAC=∠AEC=半個直角
（公理1.3）
同理可證∠BEC=∠B=半個直角
∴∟AEB是直角
（公理1.2）
∵FG∥AB
（已知）
∴∠EGF=∟ECB
（命題1.29）
∵∠BEC=半個直角
（已證）
∴∠EFG=半個直角
（命題1.32）
∴∠EFG=∠BEC
（公理1.1）
∴GE=GF
（命題1.6）
∵DF∥CE
（已知）
∴∠BDF=∟ECB
（命題1.29）
∵∠B=半個直角
（已證）
∴∠BFD=半個直角
（命題1.32）
∴∠BFD=∠B
（公理1.1）
∴BD=DF
（命題1.6）
∵AC=CE
（已知）
∴S正方形AC2=S正方形CE2
（公理1.1）
∴S正方形AC2+S正方形CE2=2S正方形AC2
（公理1.2）
∵Rt△ACE中，S正方形AC2+S正方形CE2=S正方形AE2
（命題1.47）
∴S正方形AE2=2S正方形AC2
（公理1.1）
∵GE=GF
（已證）
∴S正方形GE2=S正方形GF2
（公理1.1）
∴S正方形GE2+S正方形GF2=2S正方形GF2
（公理1.2）
∵Rt△EFG中，S正方形GE2+S正方形GF2=S正方形EF2
（命題1.47）
∴S正方形EF2=2S正方形GF2
（公理1.1）
∵GF=CD
（命題1.34）
∴S正方形EF2=2S正方形CD2
（公理1.1）
∵S正方形AE2=2S正方形AC2
（已證）
∴S正方形AE2+S正方形EF2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.2）
∵Rt△ADF中，S正方形AD2+S正方形DF2=S正方形AF2
Rt△AEF中，S正方形AE2+S正方形EF2=S正方形AF2
（命題1.47）
∴S正方形AD2+S正方形DF2=S正方形AE2+S正方形EF2
（公理1.1）
∴S正方形AD2+S正方形DF2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.1）
∵BD=DF
（已證）
∴S正方形AD2+S正方形BD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.1）
證畢
此命題在本卷中未被使用
