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第 三?章 矩陣的初等變換與線性方程組

&1.矩陣的初等變換

意義：矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求逆陣及矩陣理論的探討中都可起重要的作用。

概念：

• 矩陣的初等行變換：

• 對調(diào)兩行

• 以數(shù)k≠0乘某一行中的所有元素

• 把某一行所有元素的k倍加到另一行對應的元素上去

• 矩陣的初等列變換：把矩陣的初等行變換定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號是把“r”換成“c”）。

• 矩陣的初等變換：矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換。

• 矩陣行等價：如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B行等價，記作

• 矩陣列等價：如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B列等價，記作

• 矩陣等價：如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價，記作

• 行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線段下方全為0，每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元。

• 行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0。

性質(zhì)：矩陣之間的等價關系具有下列性質(zhì)：

(i)反身性：A~A

(ii)對稱性：若A~B，則B~A

(iii)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C.

定理：設A與B都為mxn矩陣，那么：

1. 對于任何矩陣A，總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣；

2. 矩陣A與B行等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P；使PA=B；

3. 矩陣A與B列等價的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q；使AQ=B；

4. 矩陣A與B等價的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，PAQ=B.

• 初等矩陣：由單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣

性質(zhì)：

1. 設A是一個mxn矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣；

2. 方陣A可逆的成分必要條件是存在有限個初等矩陣P1,P2,...,Pl，使A=P1,P2,...,Pl；

3. 方陣A可逆的充分必要條件是A與E矩陣行等價。

&2.矩陣的秩

概念：

• 矩陣A的k階子式：在mxn矩陣A中，任取k行與k列（k<=m,k<=n），位于這些行列交叉處的k^2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。

• 最高階非零子式與矩陣的秩：設在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A)。并規(guī)定零矩陣的秩等于0。

• 滿秩矩陣：對于n階矩陣A，由于A的n階子式只有一個|A|，故當|A|≠0時，R(A)=n，當|A|=0時，R(A)<n，可見可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數(shù)，因此，可逆矩陣又稱滿秩矩陣。

• 列滿秩矩陣：矩陣A的秩等于它的列數(shù)，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣。

定理：

1. 若矩陣A中有某個s階子式不為0，則R(A)>=s；若A中所有t階子式全為0，則R(A)<t；

2. 若A為mxn矩陣，則0<=R(A)<=min{m,n}；

3. 若A~B，則R(A)=R(B)；

4. 若可逆矩陣P，Q，使PAQ=B，則R(A)=R(B）；

5. max{R(A),R(B)}<=R(A,B)<=R(A)+R(B)；

6. R(A+B)<=R(A)+R(B)；

7. R(AB)<=min{R(A),R(B)}；

8. 對m行n列矩陣A與n行l(wèi)列矩陣B，若AB=O，則R(A)+R(B)<=n；

9. 當列滿秩矩陣為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣；

10. 設AB=O，若A為列滿秩矩陣，則B=O；

11. 由于行列式與其轉置行列式相等，因此A的轉置的子式與A的子式對應相等，從而