Householder矩陣計算公式的簡單推導的記錄，如果我忘記了就可以再看一下這個記錄...

如果對任何人有幫助就再好不過了，如果其中有錯誤，請一定要告訴我，謝謝啦！?

Householder矩陣的幾何意義是將向量按照一個平面鏡像。

如果有一個Householder矩陣??和一個向量 ，那么 使用矩陣變換此向量，也就是

這樣可以得到鏡像后的向量?

如下圖所示

看書上提到Householder矩陣的計算公式是

其中是歸一化的平面法向量，若按照上圖的說明，就有

下面是對此公式的簡單推導：

如下圖所示，可以看出向量??和它的鏡像之間相差2倍的投影長度，此投影長度是向量? 對向量??的投影的長度。

所以有

帶入向量對向量的投影公式??，可得

向量也可以被看作是長或?qū)挒?的矩陣，向量點積是也可化成矩陣乘積的形式，也就是

帶入上式可得

由于??和??都代表常數(shù)，可整理得

雖然矩陣乘法不滿足交換律，但是滿足結(jié)合律，所以有

其中，。

至此，若不要求平面法向量歸一化，上述公式已經(jīng)推導完畢了。

如果要得到關于歸一化法向量的公式，也就是有??，其中向量??是歸一化的法向量，有?。

帶入上式可以得到，

其中? 就是鏡像變換矩陣Householder矩陣。