? ??? ?這個(gè)暑假，我拜讀了數(shù)學(xué)科普經(jīng)典《什么是數(shù)學(xué)》，這是一本非常精彩的著作，使我受益匪淺。今天我們就來(lái)聊聊其中一個(gè)有趣的拓?fù)鋵W(xué)定理——布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。

? ? ? ?顧名思義，它是荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾于1910年證明的定理，和許多著名拓?fù)鋵W(xué)定理一樣，布勞威爾定理有著通俗易懂的形式:將平面上任意一個(gè)圓盤（包括圓的邊界）進(jìn)行連續(xù)變換，且變換后的圖形仍包含于原圓內(nèi)，則至少有一點(diǎn)變換后與變換前的原點(diǎn)重合。

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? ? ? ?這個(gè)定理中的圓可以被替代成諸如長(zhǎng)方形，三角形乃至任意與圓拓?fù)涞葍r(jià)的幾何圖形(甚至可以擴(kuò)展至三維球或正方體乃至更一般的情形)，他有一個(gè)有趣的實(shí)例——“地圖定理”:將北京地圖(或任意無(wú)飛地的地圖)放在北京市地面上，則至少有一點(diǎn)，使得地圖與中現(xiàn)實(shí)中的點(diǎn)重合(哪怕地圖不按照比例尺繪制而任意扭曲也可以！)。

? ? ?? 需要注意的是，這里的變換必須是連續(xù)的，即如果把圓想象成一團(tuán)圓形橡皮泥，它可以任意揉搓變形，但不能粘連(如兩端相接變成一個(gè)圓環(huán)形)或損破(中間破一個(gè)洞)。否則布勞維爾定理不一定成立。

? ? ? 乍一看，這一定理似乎很“直觀清晰”，然而其嚴(yán)格證明卻很困難。這里我們將給出一個(gè)“簡(jiǎn)單”的非嚴(yán)格證明（選自《什么是數(shù)學(xué)》）。

? ? ? 我們運(yùn)用反證法，假設(shè)定理不成立，即任意一點(diǎn)P都被映到與之相異的一點(diǎn)P'，于是我們可以取P到P'的向量表示在圖上。

? ? ? 讓我們考慮圓邊界上的點(diǎn)與與之相連的向量，所有的向量都指向圓內(nèi)(因?yàn)橛成涫堑阶陨淼摹?從邊界某點(diǎn)P1開(kāi)始，按逆時(shí)針?lè)较蜓剡@個(gè)圓走，此時(shí)，向量的方向?qū)⑦B續(xù)地改變，而當(dāng)點(diǎn)沿著圓從P1又走回P1時(shí)，向量也轉(zhuǎn)回到它原來(lái)的位置。我們把向量旋轉(zhuǎn)一整周的次數(shù)稱為圓上這些向量的指標(biāo)，確切的說(shuō)，是把指標(biāo)定義為這些向量的角的變化的代數(shù)和，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)取負(fù)值，逆時(shí)針取負(fù)值，結(jié)果正負(fù)相抵。很明顯，指標(biāo)一定是整數(shù)，即向量旋轉(zhuǎn)角度必定為360°的整數(shù)倍。

? ? ? ?我們將證明，圓周上一圈的指標(biāo)為1，即箭頭方向總變化恰好相當(dāng)于正旋轉(zhuǎn)一周。由于圓上任意一點(diǎn)P的變換向量總是指向圓的內(nèi)部而絕不會(huì)沿著切線方向，如果變換向量轉(zhuǎn)過(guò)總角度不同于切向量的變化總角度（它是360°，因?yàn)榍邢蛄壳『美@圓一周），則這兩者的差一定是360°的某個(gè)倍數(shù)，也就是說(shuō)，在從P1到P1一圈的過(guò)程中，變換向量至少要繞切線旋轉(zhuǎn)一周，而且由于切線和變換向量是連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的，所以圓周上至少有一點(diǎn)，使得切線和變換向量指向相同的方向，但由上知這是不可能的。

? ? ? ?我們進(jìn)而考慮任意一個(gè)與圓同圓心，而且包含在圓內(nèi)中的圓，那么這個(gè)圓上的變換向量的指標(biāo)也必須是1，這是因?yàn)楫?dāng)我們連續(xù)的從圓周到達(dá)任何一個(gè)同心圓時(shí)，指標(biāo)必須連續(xù)的變化，因?yàn)樽儞Q向量的方向在圓上是連續(xù)變化的，但指標(biāo)只能取整數(shù)值，因此必須永遠(yuǎn)等于原來(lái)的值1。(一個(gè)連續(xù)變化的量，如果只能取整數(shù)，它必須是個(gè)常量，否則會(huì)導(dǎo)致跳躍的不連續(xù)性)因而對(duì)任意小的同心圓，向量的指標(biāo)均為1，但這是荒謬的，因?yàn)楦鶕?jù)變換的連續(xù)性，在一個(gè)充分小圓上的向量的方向近似于在圓心的向量方向，也就是說(shuō)，可以讓他們的角度變化任意小。從而使得整數(shù)指標(biāo)取0。矛盾證出因而最初假設(shè)錯(cuò)誤，定理證明完畢。

? ? ? ? 諷刺的是，本定理的發(fā)現(xiàn)者布勞威爾是信奉秉持直覺(jué)主義的數(shù)學(xué)家，他是反對(duì)反證法的，然而我們這個(gè)定理的證明卻正好用的反證法！

? ? ? ?像這樣通俗但證明復(fù)雜的定理在拓?fù)鋵W(xué)中例子有很多，如若當(dāng)曲線定理、毛球定理、火腿三明治定理、博蘇克–烏拉爾定理等等等等，它們都是拓?fù)鋵W(xué)的典型定理。

? ? ? ? 本定理是不動(dòng)點(diǎn)定理中非常重要的一個(gè)，不動(dòng)點(diǎn)定理可以證明數(shù)學(xué)上的許多存在性定理。盡管這些定理看似與幾何無(wú)關(guān)，延伸閱讀中的博蘇克–烏拉爾定理的應(yīng)用就是一個(gè)好例子。

? ? ? ? 拓?fù)鋵W(xué)與傳統(tǒng)幾何不同，不關(guān)注長(zhǎng)度、角度等度量性質(zhì)，而是關(guān)注所謂“拓?fù)湫再|(zhì)”，如面、點(diǎn)、線等幾何元素的位置和數(shù)量關(guān)系（著名的歐拉公式就是一例），這個(gè)定理就是對(duì)此一個(gè)很好的詮釋。

延伸閱讀：Bv1Zx411T7ri(毛球定理)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??Bv1Jt411s7qs?(博蘇克–烏拉爾定理 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 及其在離散數(shù)學(xué)上的應(yīng)用)

最后推薦大家閱讀《什么是數(shù)學(xué)》這本經(jīng)典作品，希望大家能喜歡。

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