本文求解最速降線是利用約翰伯努利的方法，并不涉及變分學，若想了解變分法，請移步下一期文章。

最速降線問題

該問題的歷史可追溯到1630年，伽利略提出了一個分析學的基本問題：一個質(zhì)點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短。

或許直覺上會認為線段是最快的，但伽利略本人認為最快的曲線是圓的一部分，然而事實上這兩種情況都不是時間最快的。

1696年約翰伯努利解決了該問題后向歐洲發(fā)出關于該問題的挑戰(zhàn)，引起了當時歐洲各地數(shù)學家嘗試各種方法解決這個問題。其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達和伯努利家族的成員。很有意思的是伯努利發(fā)出挑戰(zhàn)的初衷是凸顯自己方法高明，但伯努利本人花了兩個星期左右，然而已退休的牛頓僅用了一晚上，并且匿名發(fā)表了他的答案，后來他向朋友表示“我不喜歡讓外國人嘲弄我的數(shù)學能力”。

好了，有關它的歷史就不再多說了。

對于該問題，可以不失一般性地假設A點位于原點，B點位于點??，且??。

伯努利本人的解法是假設有一條用時最短的曲線即最速降線，將它水平地切成n等份，再連接相鄰兩層與曲線的交點，如圖

當這樣的劃分越來越密集時，層數(shù)會越來越多，每層會越來越薄，折線會越來越多，其形狀也就越來越趨近于最速降線，而最速降線的在每一層上都近似與它在這一層的折線。

此時，就可以將其轉(zhuǎn)化為這樣一個較簡易的問題：

（Biathonlon問題）給定平面上兩點分別作為起點與終點，其間有一條水平的直線，一質(zhì)點從起點沿著一條線段勻速到達直線上一點再沿著另一條線段勻速到達終點，求耗時最短的路徑。

如上圖所示，我們打算尋求??與??之間的聯(lián)系，費馬原理指出兩點間光總是沿耗時最短的路徑傳播，所以這條耗時最短的路徑完全可以看作是一條光線，只不過速度不同于光速罷了。設質(zhì)點在直線上方以速度?勻速運動，下方則以速度??勻速運動。

方便起見，就假設A點位于原點，B點位于點??，而??位于?，并且有??。

質(zhì)點運動的總時間為直線上方運動的時間加直線下方運動的時間，即

進一步，有

由于??位于水平的直線上，所以??是定值，上式的變量是??，它取極小值的必要條件為

也就是

從而可知

你可能注意到了這正是光學中Snell定律的等式，入射角與折射角之間的關系，這是由于光線的傳播總是選擇耗時最短的路徑。

現(xiàn)在回過頭來考慮最速降線，每一層的折線都可以看作是一條“低速光線”，那么每相鄰的兩層入射角與折射角滿足Snell定律，當層數(shù)為n時，設每一層上的傳播速度與入射角（或折射角）為??，那么就有

令 ?趨向無窮大，可寫出

這里參變量??僅隨??的變化而變化。而根據(jù)機械能守恒，應該有

也就是

從而有

也就是

這里??可視作在橫坐標為??的點曲線的切線與 軸的夾角，從而可知

而由于

所以

由此可解得

由??算得 ?。最后，做變量代換??，得到最速降線就是以??為變量的曲線，其參數(shù)方程為

這是一條擺線，也叫旋輪線。該方程中的常數(shù)??可由

確定，這里應當滿足? 。

擺線

常規(guī)的擺線是如下形式的曲線

其中滿足? 參數(shù)方程

在一條直線上放置一個半徑為? 的圓，在圓上點一個點，再讓圓沿著直線滾動，然后把圓上的點走過的軌跡繪制出來，不難驗證得到的是上述擺線，如圖：

在此圖中， ?可視為點與圓心的連線與圓心豎直向下方向的夾角，即圓滾動的角度，而??則可以看作圓上的那個點：

下面簡單計算一下擺線的面積與弧長。

（面積）在區(qū)間??上，擺線與直線圍成的圖像面積為

因為

所以

最后算得

特別地，取??，可得到??上整條擺線與直線圍成的面積??

（弧長）同樣取區(qū)間??。有

從而弧長

再取??，可得??上整條擺線長??

下面是擺線的一種特殊性質(zhì)

Huygens等時定理

既然已經(jīng)知道了最速降線是一條擺線，質(zhì)點在這條擺線上運動耗時最短，那么這個最短的耗時是多少呢？

首先來考慮這樣的一個問題：

設一條最速降線??，其參數(shù)方程為

曲線的終點為? ，這也正是其最低點。令一質(zhì)點由曲線上任意一點??出發(fā)，僅考慮重力作用，問質(zhì)點最終運行到最低點的耗時為多少？

由機械能守恒我們知道質(zhì)點的速度為

而又有

所以

從而耗時為

經(jīng)過一通計算

最終算得其耗時是一個常數(shù)，這說明了：

（Huygens等時定理）在參數(shù)方程形如

的擺線上，從任意點出發(fā)的質(zhì)點在只受重力的作用下運動到最低點的耗時總是一樣的。