今日更新DKM_1.3，版本更新內(nèi)容：CCM收斂交叉映射、兩階段嵌套泰爾指數(shù)、三階段嵌套泰爾指數(shù)。此前嵌套泰爾指數(shù)分解是單獨(dú)的腳本，這次一并合并到DKM_1.3中。

目前因果檢驗(yàn)常用的格蘭杰因果檢驗(yàn)，主要是依據(jù)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)能力來(lái)識(shí)別序列之間的因果關(guān)系。如，我們有一個(gè)模型來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)間序列Y，如果在模型中移除時(shí)間序列X，則模型對(duì)Y的預(yù)測(cè)能力大大降低，此時(shí)可以說(shuō)X是Y的一個(gè)原因。

但是，格蘭杰因果檢驗(yàn)的前提是時(shí)間序列之間要滿足可分離性，這就要求系統(tǒng)之間，各變量是純隨機(jī)的，或者線性的。但是，有些系統(tǒng)中，各個(gè)時(shí)間序列之間彼此依賴，并不能分離，又或者彼此之間是弱耦合的，這時(shí)格蘭杰因果檢驗(yàn)就不再適用。

針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，Sugihara等（2012）在Detecting Causality in Complex Ecosystems這篇文章中，提出了CCM收斂交叉映射算法。

具體做法如下：

假設(shè)有X和Y兩個(gè)時(shí)間序列如下：

{X} = { X(1) ，X(2) ，X(3) ，…，X(L) }

{Y} = { Y(1) ，Y(2) ，Y(3) ，…，Y(L) }

分別構(gòu)造X和Y的影子流形MX和MY。

MX= ＜ X(t) ，X( t－τ) ，X( t－2τ) ，…，X( t－( E－1) τ) ＞

MY= ＜ Y(t) ，Y( t－τ) ，Y( t－2τ) ，…，Y( t－( E－1) τ) ＞

其中τ為時(shí)間滯后，E為嵌入維度。t最小值為E+2，最大值為L(zhǎng)。

對(duì)生成的影子流形MX和MY，用歐式距離計(jì)算MX和MY中每個(gè)點(diǎn)到其他點(diǎn)的距離，找到E+1個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)，用這些點(diǎn)構(gòu)造權(quán)重wi，然后利用公式：

分別估計(jì)Y和X的值。

計(jì)算估計(jì)值和實(shí)際值的相關(guān)系數(shù)，即CCM相關(guān)系數(shù)，在不同的時(shí)間序列長(zhǎng)度中重復(fù)計(jì)算CCM相關(guān)系數(shù)，繪制CCM相關(guān)系數(shù)隨長(zhǎng)度L的變化情形，判斷相關(guān)系數(shù)的收斂性。

權(quán)重wi的構(gòu)造如下：

在DKM_1.3中，準(zhǔn)備好數(shù)據(jù)，可以直接生成CCM相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間序列長(zhǎng)度L變化的情形：

在這張圖中，紅色曲線表示，用時(shí)間序列B的影子流形預(yù)測(cè)時(shí)間序列A，在庫(kù)長(zhǎng)達(dá)到一定長(zhǎng)度后，相關(guān)系數(shù)逐漸趨向于1；綠色曲線表示，用時(shí)間序列A的影子流形預(yù)測(cè)時(shí)間序列B，隨著庫(kù)長(zhǎng)的增加，相關(guān)系數(shù)仍然很低，這說(shuō)明A對(duì)B的驅(qū)動(dòng)比B對(duì)A的驅(qū)動(dòng)更強(qiáng)，也就是說(shuō)，A是B的原因。

CCM收斂交叉映射，是對(duì)格蘭杰因果檢驗(yàn)的補(bǔ)充，當(dāng)變量間是弱耦合關(guān)系，或者不可分離時(shí)，可以使用CCM收斂交叉映射來(lái)識(shí)別因果關(guān)系。

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