BV1rK411w7E3

作P點(diǎn)在面ABC上的投影O
連接AO
設(shè)∠CAO與∠BAO
分別為α1與α2

有
cosα1=cosβ/cosθ
cosα2=cosγ/cosθ
即
sinα1＝√(cos2θ-cos2β)/cosθ
sinα2=√(cos2θ-cos2γ)/cosθ
即
cosα
=cos(α1+α2)
＝cosα1cosα2-sinα1sinα2
=(cosβcosγ
-√((cos2θ-cos2β)(cos2θ-cos2γ))）
/cos2θ

sinα
＝sin(α1+α2)
=sinα1cosα2+cosα1sinα2
＝(cosγ√(cos2θ-cos2β)
+cosβ√(cos2θ-cos2γ)）
/cos2θ

即
cosθ
＝((cosγ√(cos2θ-cos2β)
+cosβ√(cos2θ-cos2γ)）
/cosθ）
/
((cosγ√(cos2θ-cos2β)
+cosβ√(cos2θ-cos2γ)）
/cos2θ）

＝√(((cosγ√(cos2θ-cos2β)
+cosβ√(cos2θ-cos2γ)）2
/cos2θ）
/
((cosγ√(cos2θ-cos2β)
+cosβ√(cos2θ-cos2γ)）
/cos2θ）

=√((cos2βcos2θ+cos2γcos2θ
-2cos2βcos2γ
+2cosβcosγ√((cos2θ-cos2β)(cos2θ-cos2γ))）
/cos2θ）
/
((cosγ√(cos2θ-cos2β)
+cosβ√(cos2θ-cos2γ)）
/cos2θ）

=√(cos2β+cos2γ
-2cosβcosγ(cosβcosγ
-√((cos2θ-cos2β)(cos2θ-cos2γ))）
/cos2θ）
/
((cosγ√(cos2θ-cos2β)
+cosβ√(cos2θ-cos2γ)）
/cos2θ）

=√(cos2β+cos2γ-2cosαcosβcosγ)
/sinα

得證

ps.
抑或簡單一點(diǎn)
據(jù)其意義

過P點(diǎn)分別作AB與AC垂線
垂足分別為M與N
PO⊥AB
PM⊥AB
即AB⊥POM
即AB⊥OM
同理可得
AC⊥ON
即A、M、O、N四點(diǎn)共圓
AO為其直徑

有AO
＝MN/sinα

即AO
=√((PM）2+(PN）2-2cosαPM·PN)
/sinα

即PAcosθ
=√((PAcosβ）2
+(PAcosγ）2-2cosαPAcosβPAcosγ)
/sinα

即cosθ
=√(cos2β+cos2γ-2cosαcosβcosγ)
/sinα

得證

ps.
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CV10088620