上文明確了根據(jù)節(jié)點和積分點劃分的不同類型單元的分類和使用場景，但是對于其中出現(xiàn)的一些專有現(xiàn)象名詞并沒有詳細(xì)解釋，本文試從有限元原理著手，簡單了解產(chǎn)生這些現(xiàn)象的原因。

（本部分內(nèi)容源自彈塑性力學(xué)-陳慧發(fā)部分內(nèi)容、有限單元法-清華大學(xué)出版社第4章及第5章）

?本文關(guān)鍵詞?

沙漏行為、偽應(yīng)變能、剪切自鎖、體積鎖定

01

沙漏行為

舉個例子說明，當(dāng)8節(jié)點縮減積分單元出現(xiàn)下圖1所示位移模式時，可計算出該單元應(yīng)變能為0，會產(chǎn)生有別于剛體運動的零能模式，單元沒有表現(xiàn)出剛度，不能得到有意義結(jié)果，且整體網(wǎng)格越粗糙，效應(yīng)越明顯。

因其在實體單元典型的位移模式是一個梯形體狀似一個沙漏（圖2虛線），因此這種此種單元行為又稱為沙漏行為。在一些軟件如abaqus中當(dāng)使用縮減積分時會增加沙漏剛度的定義項來緩解此種行為。

但是因為引入了人工定義的沙漏剛度，會產(chǎn)生原本模型不應(yīng)該存在的能量，稱為“偽”應(yīng)變能ALLAE。因此當(dāng)發(fā)現(xiàn)偽應(yīng)變能過大時候，一般占比超過總能量的5%就需要考慮細(xì)化網(wǎng)格或做其它相應(yīng)處理（厚度方向上若采用縮減積分單元應(yīng)保證至少四層單元），否則計算結(jié)果可能存在問題。

圖1 8節(jié)點單元零能模式

圖2?線性4節(jié)點單元零能模式

02

自鎖行為

該行為存在于完全積分單元中，分為剪切自鎖和體積自鎖：當(dāng)完全積分問題用于彎曲問題時，會出現(xiàn)剪切自鎖；用于不可壓縮問題，出現(xiàn)體積自鎖。產(chǎn)生原因都是單元剛度增大導(dǎo)致的變形值相對實際過小，但原理上略有不同。

?剪切自鎖?

剪切鎖死是指在理論上沒有剪切變形的單元中發(fā)生了剪切變形，一般發(fā)生于在受純彎狀態(tài)下，采用線性單元全積分時，主要現(xiàn)象使得模型彎曲剛度增大導(dǎo)致變形偏小，如考慮從受彎曲梁上取一單元研究：

圖中所示單元為線性單元，但受彎曲時其變形模式理應(yīng)如圖3a，但由于采用的形函數(shù)為線性，變形后的網(wǎng)格實際如圖3b，產(chǎn)生了多余的剪應(yīng)變，并且由于采用完全積分，剛度矩陣相對更為精確，就會使得單元“偏硬”，與實際結(jié)果不符。

圖3a 彎曲下理想的單元變形模式

圖3b 彎曲下線性單元變形模式

解決方法如下：

可使用縮減積分單元、高階單元、細(xì)化網(wǎng)格來消除剪切自鎖，若使用完全積分單元應(yīng)避免單元長寬比過大，或者使用非協(xié)調(diào)單元，關(guān)于這種單元我們后面會提及。

?體積自鎖?

同樣在完全積分單元中。在某些情況下，得到了過大的剛度，從而影響最終結(jié)果。特別是在超彈性分析或者是近理想塑性材料，如果材料是不可壓縮的或是近似不可壓縮的或者是進(jìn)入塑性后近乎理想塑性的，完全積分單元可能會變得特別剛硬幾乎不會產(chǎn)生體積變形。對于三維情況下，楊氏模量推廣后我們可以得到體積模量和剪切模量?？疾祗w積模量的形式：

不可壓縮材料的泊松比無限接近于0.5，分母趨近于0，就會導(dǎo)致體積模量趨近于無窮大，這時若使用全積分計算就會導(dǎo)致剛度過大，結(jié)果不準(zhǔn)確甚至計算不收斂。

解決方法如下：

此種分析下合適選取單元類型如線性縮減積分單元并細(xì)化網(wǎng)格；或者引入可壓縮性，當(dāng)結(jié)果不準(zhǔn)確或求解不收斂時，適當(dāng)調(diào)小泊松比，試驗表明，近不可壓縮性和完全不可壓縮性計算結(jié)果很接近；若是近理想塑性材料應(yīng)在可能的塑性區(qū)細(xì)化網(wǎng)格。

接下來是四面體和六面體的比較：四面體單元在劃分幾何形狀比較復(fù)雜的物體時，可以以較高的單元質(zhì)量快速劃分，節(jié)省大量時間成本。但是四面體單元在同等單元尺寸下會產(chǎn)生更多的單元和節(jié)點，在隱式算法中增加了更多方程組，在顯式分析中，會導(dǎo)致更小的步長均會導(dǎo)致求解時間更長。此外由于單元形函數(shù)性質(zhì)，如果使用較為粗糙的線性四面體單元，將會導(dǎo)致結(jié)果特別是應(yīng)力結(jié)果也不準(zhǔn)確。

參考資料

《彈塑性力學(xué)》陳慧發(fā)

《有限單元法》王勖成