附錄4.5.1?(積分) 設(shè)是分布函數(shù)，是上的非負(fù)函數(shù)，稱關(guān)于在區(qū)間上是可積的，如果存在常數(shù)，使得對任何，存在，對任何上的分劃，只要分劃的長度?，就有

對任何成立，就記

太長了懶得寫了，總之就是如果是非負(fù)的，那反常積分收斂的定義就積分的反常積分的定義是類似的，但是如果是一般的函數(shù)，反常積分收斂的定義卻和積分的定義是類似的

從這個積分的定義可以看出，如果的話（雖然它不能做分布函數(shù)），就是普通的積分，而如果可導(dǎo)的話，那么

定理4.2.2?設(shè)是隨機變量，是其分布函數(shù)。如果是非負(fù)連續(xù)或有界連續(xù)函數(shù)，那么

如果記得積分的定義，那這個結(jié)論其實還蠻直觀的

§4.3? 方差及其不等式

定理4.3.1?(1)不等式：設(shè)是一個隨機變量，，則對于任意m>0，有

(2)不等式：設(shè)是隨機變量，那么

推論4.3.1?簡單介紹了一些方差的性質(zhì)，沒什么好說的，不過為什么不用花體呢？

§4.4? 常見分布的期望

介紹了一些簡單的離散隨機變量和一些有趣的例子，想要具體學(xué)習(xí)這些內(nèi)容建議換一本概率論教材

§4.5??大數(shù)定律

定理4.5.1??()對任何，有

推論4.5.1??設(shè)是隨機變量，則(1)獨立當(dāng)且僅當(dāng)對任何非負(fù)或有界連續(xù)函數(shù)，有

(2)如果獨立，則對任何連續(xù)函數(shù)，隨機變量也獨立

(1)的必要性的證明思路：用連續(xù)函數(shù)去逼近示性函數(shù)，然后利用引理4.1.2的(3)

?定理4.5.2??設(shè)事件是的一個劃分，那么對任何隨機變量，有

第五章? ?連續(xù)型隨機變量

從這章開始介紹連續(xù)型隨機變量，其實當(dāng)前對連續(xù)型隨機變量并不是完全不了解的，例如定義4.1.2給出的是一般的非負(fù)隨機變量的期望的定義，Levy單調(diào)收斂定理、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理以及定理4.2.2這一系列與期望和隨機序列有關(guān)的結(jié)論都是對連續(xù)型隨機變量也成立的，但是還有一些結(jié)論是只對離散型隨機變量成立的，例如引理2.3.1只能推出離散型隨機變量和函數(shù)的復(fù)合還是離散型隨機變量，還有就是對離散的樣本空間中的域，直接取樣本空間的冪集就好了，但是樣本空間中的元素不可列的話，就沒辦法直接這樣做了

§5.1??可測性

引理 5.1.1 (1)非空集合上任意多個域的交仍然是域;(2)設(shè)是的子集的一個集合，則所有包含的域的交是域，記為。它是包含的最小域;

R上所有開區(qū)間生成的域稱為Borel域，記為或者，里面的集合被稱為Borel集。中包含了開集、閉集、單點集、半開半閉區(qū)間

定理 5.1.1 設(shè)是概率空間，則上的函數(shù)是隨機變量當(dāng)且僅當(dāng)

其中

再說的直白點的話，就是

證明思路：如果，那么，肯定是隨機變量。反過來，用去表示所有滿足的集合組成的集合，那么因為是隨機變量，所以一方面，所有如果可以證明是域，那么肯定包含，進(jìn)而

這就證明了結(jié)論

一個R上的函數(shù)被稱為可測的，如果對任何x都成立，這也等價于每一個Borel集的逆像還是Borel集

定理 5.1.2?(1)R上的連續(xù)函數(shù)是Borel可測函數(shù);(2)設(shè)是隨機變量，是Borel可測函數(shù)，那么是隨機變量

§5.1??分布函數(shù)的實現(xiàn)

（注意上面的定理都是可以推廣到多維的情況的）

分布函數(shù)的廣義逆是指

直觀來說也就是最大的使得的y

引理 5.1.2 介紹了廣義逆的若干性質(zhì)

定理 5.1.2 直線R上的任意分布函數(shù)F可以實現(xiàn)

這個定理的大概意思就是給定任何一個分布函數(shù)F，即滿足單調(diào)遞增且的函數(shù)，都可以找到一個隨機變量，使得這個隨機變量的分布函數(shù)就是F

證明思路：首先上的均勻分布是可以實現(xiàn)的（證明懶得看了），記為然后記，可以證明即為所求

有一些地方?jīng)]用公式編輯器的公式是因為圖片超了，但是只超了16張，所有我只好把超的部分換掉了