續(xù)上一集線性代數(shù)速成（上），清晰易懂（不懂順著網(wǎng)線來打我），我們借助克萊姆法則與高斯消元法這兩個(gè)在解線性方程組主線路上的跳板，沖頂線性代數(shù)最高俯瞰：線性變換觀點(diǎn)。

你初次看它時(shí)一定有所驚訝，原來我們《線性代數(shù)》的各章節(jié)知識統(tǒng)一于更高級的體系。

將變換作為代數(shù)的俯瞰是合理的。人類數(shù)學(xué)大廈建立在集合論基礎(chǔ)上。代數(shù)在抽象世界運(yùn)行時(shí)有兩個(gè)核心概念，一個(gè)是“空間”：一套元素的集合，另一個(gè)是“代數(shù)結(jié)構(gòu)”：集合中元素的關(guān)系規(guī)則。那變換就相當(dāng)于“運(yùn)動(dòng)”。著名的線性代數(shù)可視化動(dòng)畫博主：3blue1brown給出過的幾何解釋：線性變換是保持原點(diǎn)不變、使坐標(biāo)網(wǎng)格平行且等距的操作：

對于線性方程組

在標(biāo)準(zhǔn)單位正交基下的向量(8,6)，

而在以[3;1]、[1,2]為新基下的坐標(biāo)則是方程組的解(2,2)。

對于Ax=y的形式，我們的直覺是參考系不變，向量x被變換為了y，這是矩陣左乘的觀點(diǎn)?？巳R姆法則為我們提供了矩陣右乘與列變換的視角，在矩陣右乘看來，向量自身不變而參考系改變（我們把線性空間的參考系稱為基，中學(xué)里的叫法是“基底”）。這實(shí)際上掩蓋了一個(gè)令人驚訝的思考方式：EA·x=E·y（E是單位矩陣，是標(biāo)準(zhǔn)單位正交基）。

同一個(gè)向量，在不同的坐標(biāo)系下有不同的坐標(biāo)。具體的換算關(guān)系如上，P為過渡矩陣。

同一個(gè)線性變換，在不同的基下也有不同的矩陣描述。具體的換算關(guān)系如下，P為過渡矩陣：

我們稱這種關(guān)系為：矩陣A和矩陣B相似。所以說矩陣是線性變換在給定基下的描述。是否是同一個(gè)線性變換，取決于對坐標(biāo)網(wǎng)格（基）的變換效果是否一樣的。有伸縮、旋轉(zhuǎn)、伸縮+旋轉(zhuǎn)、投影等幾種效果。伸縮是由于向量數(shù)乘運(yùn)算，不改變方向。旋轉(zhuǎn)是向量加法運(yùn)算引起的。伸縮+旋轉(zhuǎn)是既有數(shù)乘也有加法。這些效果都用矩陣來描述。

在上一篇線性代數(shù)速成（上），清晰易懂（不懂順著網(wǎng)線來打我），我們已經(jīng)知道高斯消元法的幾何解釋主要操作是伸縮與旋轉(zhuǎn)線性方程至其“擺正方向”。高斯消元法對應(yīng)的初等行變換是一種等價(jià)變換，之所以是等價(jià)變換是因?yàn)樽儞Q前后的線性方程組同解，但等價(jià)矩陣描述的不是同一個(gè)線性變換，描述同一個(gè)線性變換的兩個(gè)矩陣的關(guān)系稱為“矩陣相似”。

如果我們在相似矩陣A和B所在的基用其行變換將A、B表示出來：

這就是初學(xué)者通常十分困惑的矩陣相似的定義式。這是令初學(xué)者驚訝的操作。

我們已經(jīng)知道了在相似變換時(shí)的坐標(biāo)網(wǎng)格的長度和角度可能是變化的：

而有一種特殊的線性變換可以保存的是矩陣的長度和角度（從而使網(wǎng)格內(nèi)積的不變），我們稱之為“合同變換”。“合同”的意思就是就是“相同”，合同變換也稱作“全等變換”，是一種剛性變換，它不會(huì)改變圖形的形狀和大小，它包括旋轉(zhuǎn)、平移和反射等變換。

合同變換更進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了同一圖形在不同基下有不同的坐標(biāo)。

如果矩陣B可以寫為另一個(gè)矩陣A的合同變換，那么存在一個(gè)可逆矩陣P，使得 B = P^T * A * P。這時(shí)的P仍是基過渡矩陣，但取轉(zhuǎn)置是湊平方和，是謀求內(nèi)積度量不變。至此不必再深挖，合同變換通常是為了線性代數(shù)在幾何中的一個(gè)應(yīng)用：二次型。

至此，你已經(jīng)獲得了線性代數(shù)中幾個(gè)主要的俯瞰。獲得俯瞰是速成的重要一步，有了俯瞰之后，你就得了“道”，你才能更好地往里填充各種各樣的“術(shù)”。