1.方程推導(dǎo)

????亥姆霍茲渦量方程（Helmholtz Vorticity Equation）的推導(dǎo)可見參考文獻(xiàn)[1,2]，這里僅給出方程的形式。

2.數(shù)值方法

????在求解渦量方程時本文選擇周期邊界條件，因此使用雅各比迭代收斂速度慢，多網(wǎng)格和廣義最小殘差等求解時雙周期邊界問題時并不方便，因此這里我們采用譜方法進(jìn)行求解。

????在譜方法中對目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)是借由對 \delta 函數(shù)的插值函數(shù)求導(dǎo)在與目標(biāo)函數(shù)線性迭加得到的。因此這里我們給出插值函數(shù)與一，二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系式。

插值函數(shù)

求導(dǎo)矩陣

這里我們以一階導(dǎo)數(shù)為例：

一階導(dǎo)數(shù)

二階導(dǎo)數(shù)

3.方程化簡

本文使用ndfrid函數(shù)構(gòu)建二維網(wǎng)格，因此行表示x，列表示y。故將HV方程寫為如下形式

????具體堆到過程和函數(shù)可參考文獻(xiàn)3。

4.初始條件和運(yùn)行結(jié)果

????Omega=1*sin(pi*(X-x1)/(x2-x1)).^1.*sin(pi*(Y-y1)/((y2-y1))).^15;

6.總結(jié)

????筆者針對譜方法進(jìn)行簡單的學(xué)習(xí)，僅僅處于了解情況。若對譜方法感興趣的同學(xué)請參考“Matlab微分方程高效解法：譜方法原理與實(shí)現(xiàn)”一書，其中含有不少例題和相關(guān)代碼非常適合初學(xué)者學(xué)習(xí)。本文代碼則是參考書中第四章代碼完成。或者有想讀英文的同學(xué)也可參考文獻(xiàn)4一書，里面更加豐富的例題。

參考文獻(xiàn)

1.?https://zhuanlan.zhihu.com/p/645998782

2.?https://zhuanlan.zhihu.com/p/416872063

3. Matlab微分方程高效解法：譜方法原理與實(shí)現(xiàn)；第四章

4.Spectral Methods in MATLAB? ?by：Trefethen